Mathématique m1023

Les nombres entiers (Z)

​​​​​Les nombres entiers, représentés par |\mathbb{Z}|, regroupent tous les nombres entiers positifs et négatifs. On utilise fréquemment l'appellation nombres entiers relatifs.

On peut voir l'ensemble des nombres entiers comme l'ensemble regroupant les nombres entiers naturels​ |(\mathbb{N})| et leurs opposés, les nombres entiers négatifs. Tout comme les nombres entiers naturels, les nombres entiers ont une partie décimale nulle.

​Les nombres opposés

Pour bien comprendre l'ensemble des nombres entiers, il convient de définir ce que sont des nombres opposés.

Deux nombres sont opposés s'il sont à une même distance de zéro.

À l'écrit, on constate qu'il s'agit du même nombre qui est écrit deux fois, mais il est possible de noter une petite différence: l'un est positif et l'autre est négatif.

Au niveau arithmétique, on dit que deux nombres sont opposés lorsque leur somme est nulle.

La droite numérique permet de bien comprendre le concept de nombre opposé. m1023i1.png Comme nous pouvons le voir, le nombre |\small\text{-}2| est l'opposé du nombre |\small 2|. Ces deux nombres sont à une même distance de zéro, mais sont de signes contraires.

De plus, la somme de ces deux nombres est nulle.
||\text{-}2+2=0||

Contrairement aux nombres négatifs qui sont toujours précédés de leur signe |(\text{-})|, les nombres positifs sont généralement écrits sans le signe |(\text{+})|.

Par ailleurs, la notion d'opposé d'un nombre n'est pas uniquement appliquable dans |\mathbb{Z}|, mais dans la majorité des sous-ensembles des |\mathbb{R}|. 

Les nombres entiers et la droite numérique

Sur une droite numérique, les nombres entiers peuvent être représentés par des points à la position des entiers positifs ET négatifs.

Les point oranges sur la droite numérique ci-dessous représentent quelques éléments de l'ensemble des nombres entiers:

m1023i2.png 

Les nombres entiers et les ensembles de nombres

Les nombres entiers |(\mathbb{Z})| forment un sous-ensemble des nombres réels et ils incluent l'ensemble des nombres entiers naturels. En utilisant les notations associées aux ensembles de nombres, ceci s'écrit
||\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}||
et se lit «l'ensemble des nombres entiers naturels est inclus dans l'ensemble des nombres entiers». Voici un schéma qui démontre l'emplacement des nombres entiers naturels |\mathbb N| dans l'ensemble des nombres entiers |\mathbb Z|:

Bref, l'ensemble des nombres entiers |(\mathbb{Z})| comprend les nombres entiers positifs, que l'on appelle les nombres naturels |(\mathbb N)|, et leurs opposés.

Exemple 1
Le nombre |\small 8|, le nombre |\small \text{-}92\ 683| et le nombre |\small \text{-}11|, ainsi que leurs opposés, font partie des nombres entiers.

Exemple 2
Les nombres représentés par |\text{-}\frac{8}{4}| et |\frac{54}{9}| font aussi partie de l'ensemble des nombres entiers, car ils correspondent respectivement aux nombres |\small \text{-}2| et |\small 6|. Les opposés de ces nombres appartiennent aussi aux nombres entiers.

Exemple 3
Par contre, les nombres |\small 1\ 521,46| et |\small \text{-}95,431| ne sont pas des nombres entiers, car ils possèdent un reste (une partie décimale non nulle).

En utilisant les notations associées aux ensembles, on pourrait écrire ||\begin{align} \text{-}92\ 683&\in\mathbb{Z}\\1\ 521,46&\notin\mathbb{Z}\end{align}||

Les notations associées aux ensembles permettent aussi de désigner certains sous-ensembles précis de l'ensemble des nombres entiers.

On note |\mathbb {Z}^*| l'ensemble des nombres entiers dont on a enlevé le nombre |\small 0|.
||\mathbb {Z}^* = \lbrace... \text{-}5, \text{-}4, \text{-}3, \text{-}2, \text{-}1, 1, 2, 3, 4, 5, ... \rbrace||

On note |\mathbb {Z}_+| l'ensemble des nombres entiers positifs. Dans ce cas, c'est le même ensemble que les entiers naturels |(\mathbb N)|
||\mathbb {Z}_+ = \lbrace 0, 1, 2, 3, ... \rbrace = \mathbb N||

On note |\mathbb {Z}_-| l'ensemble des nombres entiers négatifs
||\mathbb {Z}_- = \lbrace ... \text{-}5, \text{-}4, \text{-}3, \text{-}2, \text{-}1, 0 \rbrace||

Certaines situations réelles impliquent les nombres entiers et aident à les comprendre.

Exemple 1: La température
On mesure la température à l'aide d'un thermomètre gradué en degré Celsius |\small (°C)|.

En été, la température est supérieure à |\small 0°C|; elle est donc représentée par des nombres positifs. Toutefois, en hiver, la température tombe sous le point de congélation de l'eau et devient inférieure à |\small 0°C|. Ainsi, elle devient négative.
 
Le thermomètre ci-dessus indique une température inférieure à |\small 0°C|, soit |\small \text{-}19°C|.

Exemple 2: L'altitude
L'altitude est la distance verticale ​d'un point du relief terrestre mesurée à partir du niveau de la mer. On exprime cette hauteur ou cette profondeur à l'aide d'une échelle graduée en mètres. Le |\small 0| de l'échelle représente le niveau de la mer.

 
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