Mathématique m1038

Placer en ordre des nombres décimaux

​La comparaison des nombres décimaux permet de situer ces nombres les uns par rapport aux autres. On peut alors les placer en ordre croissant ou décroissant. Pour bien comprendre ce qui sera abordé dans cette fiche, il convient de se rappeler quelques notions concernant la notation décimale.

Représentation de l'ordre dans les nombres décimaux

L'ordre dans les nombres décimaux peut être représenté de plusieurs façons. En voici une.

La droite numérique

Comme pour les nombres naturels et les nombres entiers, il est possible de représenter l'ordre dans les nombres décimaux à l'aide d'une droite numérique.

Une fois positionnés sur une droite numérique, plus un nombre sera placé à droite, plus il sera grand.

m1553i12.png
Inversement, plus un nombre sera positionné à gauche, plus il sera petit.

La différence avec la droite numérique utilisée pour les nombres entiers est que, pour les nombres décimaux, on subdivisera chaque unité de la droite en parties égales pour être en mesure de positionner les nombres plus précisément.

Chaque unité de la droite ci-dessus est séparée en |\small 10| parties égales. Ces subdivisions représentent alors les dixièmes.

Les nombres suivants sont représentés sur la droite numérique.

m1553i13.png
On peut voir que |\small \text{-2,1}| est le nombre avec la plus petite valeur, car il est celui positionné le plus à gauche sur la droite numérique. Le nombre |\small 2|, pour sa part, est le nombre ayant la plus grande valeur, car il est celui positionné le plus à droite.

L'ordre croissant de ces nombres est obtenu en les inscrivant de gauche à droite.||\text{-}2,1\  <\  \text{-}1,3\  <\  0,2\  <\  1\  <\  1,55\  <\  2||
On obtient l'ordre décroissant en inscrivant ces nombres de droite à gauche. ||2\  >\  1,55\  >\  1\  >\  0,2\  >\  \text{-}1,3\  >\  \text{-}2,1||

Méthodes pour placer en ordre des nombres décimaux

Certaines méthodes permettent de placer en ordre des nombres décimaux. Nous en présenterons deux.

Méthode 1: À l'aide des valeurs de position

Cette méthode s'applique lorsque les nombres à placer en ordre sont des nombres positifs.

Pour placer en ordre des nombres décimaux positifs plus facilement, il est possible de les séparer en groupes selon le nombre de chiffres qui composent leur partie entière (ceux placé à gauche de la virgule). Voici les étapes de cette méthode.

1. Déterminer si on doit placer les nombres en ordre croissant ou décroissant.

2. Regrouper les nombres à ordonner selon le nombre de chiffres qui composent leur partie entière.

3. Mettre les nombres de chacun des groupes en ordre selon l'ordre désiré.

4. Mettre les groupes en commun pour obtenir les nombres dans l'ordre voulu.

Plus un nombre décimal positif contient de chiffres dans sa partie entière, plus ce nombre sera grand.

En d'autres mots, si on compare deux nombres positifs, celui dont la partie entière sera composée du plus grand nombre de chiffres sera le plus grand.

Prenons les nombres décimaux positifs suivants: ||3,1562\qquad \qquad 14,2||On remarque que la partie entière de |\small \color{red}{3},1562| est composée d'un seul chiffre, alors que celle de |\small \color{red}{14},2| est composée de deux chiffres.


On a donc que ||3,1562\  <\  14,2||

De plus, lorsque l'on compare deux nombres décimaux dont la partie décimale n'est pas composée du même nombre de chiffres, il peut être utile d'ajouter un ou plusieurs |\small 0| à la fin de la partie décimale. Ceci ne change pas la valeur du nombre.

Par exemple, ||14,2=14,2\color{red}{0000}||

Normalement, on évite d'inscire les zéros à la fin d'une partie décimale, mais il peut être utile de le faire lors de la comparaison de nombres.

Si deux nombres positifs ont une partie entière composée du même nombre de chiffres, il est possible d'utiliser le truc suivant pour les comparer.

Pour mettre en ordre des nombres décimaux positifs qui ont une partie entière composée du même nombre de chiffres, il faut comparer les chiffres ayant les mêmes valeurs de positions ensemble en partant de la gauche vers la droite. Aussitôt que l'on note une différence, le chiffre le plus grand appartiendra au nombre le plus grand.

Prenons les nombres |16,45| et |16,432|, par exemple. ||\large \bbox[orange]{1}\:\bbox[fuchsia]{6}\: , \:\bbox[yellow]{4}\:\bbox[aqua]{5}\qquad \qquad \bbox[orange]{1}\:\bbox[fuchsia]{6}\: , \:\bbox[yellow]{4}\:\bbox[aqua]{3}\:\bbox[pink]{2}|| On commence par comparer les chiffres à la position la plus à gauche, celle des dizaines. On a le chiffre |\bbox[orange]{1}| pour les deux nombres, on passe donc aux chiffres à la position des unités.

On remarque que les deux nombres ont le même chiffre, |\bbox[fuchsia]{6}|, à la position des unités, ainsi qu'à la position des dixièmes, |\bbox[yellow]{4}|.

En se déplaçant une fois de plus vers la droite, on remarque enfin une différence. Comme |\bbox[aqua]{5}| est plus grand que |\bbox[aqua]{3}|, le nombre |16,4\bbox[aqua]{5}| est plus grand que |16,4\bbox[aqua]{3}2|. En d'autres mots, on a ||16,4\bbox[aqua]{3}2\  <\  \small 16,4\bbox[aqua]{5}||

Place en ordre croissant les nombres suivants : ||23,5\qquad 7,25\qquad 102,4\qquad 26,72\qquad 23\qquad 7,523\qquad 100,1||
1. Déterminer si on doit placer les nombres en ordre croissant ou décroissant.
Tel que mentionné dans la question, les nombres doivent être placés en ordre croissant, c'est-à-dire du plus petit au plus grand.

2. Regrouper les nombres à ordronner selon le nombre de chiffres qui composent leur partie entière.
On aura trois groupes ici, les nombres dont la partie entière comporte |\color{green}{1}| chiffre, ceux dont elle comporte |\color{blue}{2}| chiffres et ceux dont elle comporte |\color{purple}{3}| chiffres.||\enclose{circle}[mathcolor="blue"]{\color{black}{23,5}}\qquad \enclose{circle}[mathcolor="green"]{\color{black}{7,25}} \qquad \enclose{circle}[mathcolor="purple"]{\color{black}{102,4}}\qquad \enclose{circle}[mathcolor="blue"]{\color{black}{26,72}}\qquad \enclose{circle}[mathcolor="blue"]{\color{black}{23}}\qquad\enclose{circle}[mathcolor="green"]{\color{black}{7,523}}\qquad\enclose{circle}[mathcolor="purple"]{\color{black}{100,1}}||

||\underbrace{\color{green}{7,523\quad 7,25}} \qquad\qquad \underbrace{\color{blue}{23,5\quad 26,72\quad 23}}\qquad\qquad \underbrace{\color{purple}{102,4\quad 100,1}}||

3. Mettre les nombres de chacun des groupes en ordre selon l'ordre désiré.
En utilisant le truc ci-haut, on peut placer les nombres de chacun des trois groupes en ordre croissant. Pour s'aider, il est possible d'ajouter des |\small \color{red}{0}| à la fin des parties décimales.

On obtient ceci ||\color{green}{7,25}\color{red}{0}\  <\  \color{green}{7,523}\qquad\qquad \color{blue}{23,}\color{red}{00}\  <\  \color{blue}{23,5}\color{red}{0}\  <\  \color{blue}{26,72}\qquad\qquad \color{purple}{100,1}\  <\  \color{blue}{102,4}||
4. Mettre les groupes en commun pour obtenir les nombres dans l'ordre voulu.
Comme on sait que plus il y a de chiffres dans la partie entière d'un nombre, plus il est grand, on obtient l'ordre croissant suivant: ||\color{green}{7,25}\  <\  \color{green}{7,523}\  <\  \color{blue}{23}\  <\  \color{blue}{23,5}\  <\  \color{blue}{26,72}\  <\  \color{purple}{100,1}\  <\  \color{blue}{102,4}||

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Méthode 2: À l'aide de la droite numérique

​Cette méthode est plus polyvalente que la précédente. Elle permet de placer en ordre des nombres décimaux ​positifs et négatifs. En voici les étapes.

1. Déterminer si on doit placer les nombres en ordre croissant ou décroissant.

2. Tracer une droite numérique, si elle n'est pas déjà fournie.

3. En tenant compte du pas de variation, positionner sur la droite numérique les nombres à mettre en ordre.

4. Placer les nombres dans l'ordre désiré, sachant que plus un nombre est positionné à droite, plus il est grand.

Place en ordre décroissant les nombres suivants: ||\text{-}0,6\qquad 0,15\qquad 1,5\qquad \text{-}1,9\qquad \text{-}1,3\qquad 1,95||
1. Déterminer si on doit placer les nombres en ordre croissant ou décroissant.
​Tel que mentionné dans la question, les nombres doivent être placés en ordre décroissant, c'est-à-dire du plus grand au plus petit.

2. Tracer une droite numérique, si elle n'est pas déjà fournie.
On a décidé de tracer une droite numérique ayant un pas de graduation de |\small 0,1|. 
m1553i14a.png

3. Positionner sur la droite numérique les nombres à mettre en ordre.
En tenant compte du pas de graduation, on place les nombres du mieux que l'on peut.
m1553i15b.png

4. Placer les nombres dans l'ordre désiré.
Comme les nombres les plus grands sont ceux qui sont positionné le plus à droite, on obtient l'ordre décroissant suivant: ||1,95\  >\  1,5\  >\  0,15\  >\  \text{-}0,6\  >\  \text{-}1,3\  >\  \text{-}1,9||
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