Mathématique m1044

Les définitions et les propriétés des exposants et des racines

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​De par leurs définitions, les exposants et les racines sont deux notions qui sont intimement liées et qui possèdent sensiblement les mêmes propriétés. Par ailleurs, il est très important de connaitre et de bien maitriser les propriétés des exposants pour réussir à résoudre les équations que l'on retrouve en mathématiques financières.

​​​​​​​​​​​​​​​​​​Les définitions des exposants​

​Pour les définitions suivantes, il est important de considérer que 
||\{a,b\} \subset \mathbb{R}\quad \text{et}\quad \{m,n\} \subset\mathbb{N}||.

​Définitions 

​Exemples

​Un exposant entier et positif indique le nombre de fois où la base apparait dans une multiplication. 
||a^{m}=\underbrace {a\times a\times ...\times a\times a}_{m\ \text {fois}}||
avec |(m>0)|
​|2^{3}=2\times 2\times 2=8|

|\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{4}=\displaystyle \frac{1}{2}\times \displaystyle \frac{1}{2}\times \displaystyle \frac{1}{2}\times \displaystyle \frac{1}{2}=\displaystyle \frac{1}{16}|
​Toute base affectée de l'exposant 0 donne 1. (sauf si la base est 0)
||a^{0}=1||
​|4^{0}=1|

|0^{0}\ \text{est indéfini}|
Toute base affectée de l'exposant 1 donne la base elle-même.
||a^{1}=a||
​|25^{1}=25|

|\displaystyle \left( \frac{8}{3} \right)^{1}=\displaystyle \frac{8}{3}|
​Une base affectée d'un exposant négatif est équivalent à l'inverse de la base affectée de l'exposant positif.
||\begin{align} a^{-m}&= \frac{1}{a^{m}}\\
\left(\frac{a}{b}\right)^{-m}&=\left(\frac{b}{a}\right)^{m}\end{align}||
​|2^{-4}=\displaystyle \frac{1}{2^{4}}|

|\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-5}=\left(\frac{3}{2}\right)^{5}|
Une base affectée d'un exposant fractionnaire se traduit en une racine.
||a^{\frac{m}{n}}=\sqrt [n]{a^{m}}||
​|8^{\frac{3}{5}}=\sqrt [5]{8^{3}}|

|2^{\frac{1}{3}}=\sqrt [3]{2}|

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Les propriétés des exposants

​Pour les propriétés suivantes​, il est important de considérer que 
||\{a,b\} \subset \mathbb{R}\quad \text{et}\quad \{m,n\} \subset \mathbb{N}||.

Dans le prochain tableau, les propriétés seront d'abord définies et ensuite présentées sous forme d'égalité. Par ailleurs, il est important de se rappeler qu'une égalité peut être lue de la gauche vers la droite, mais également de droite à gauche.
Cette habileté à lire les égalités dans les deux sens sera mise de l'avant dans les prochaines sections.

​ ​

​Propriétés

​Exemples

Si deux puissances d'une même base sont égales, alors les exposants sont égaux.

||\text{Si} \ a^{m}=a^{n} \ \text{alors} \ m=n||
|8^{4}=8^{x}| donc, |4=x|

|\begin{align} 2^{x+1}=2^{3}\ \ \text{donc, }\ x+1 &=3\\\Rightarrow x&=2 \end{align}|


​Produit de puissances de même base :
Lorsque des notations exponentielles de mêmes bases sont multipliées ensemble, on additionne les exposants.
||a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}||

​|8^{3}\times 8^{5}\times 8^{-2}=8^{3+5+^-2}=8^{6}|
​Quotient de puissances de même base :
Lorsque des notations exponentielles de même base sont divisées ensemble, on soustrait les exposants.
|| \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\ \text{où} \ a\neq 0||

|\displaystyle \frac{4^{5}}{4^{3}}=4^{5-3}=4^{2}|
​Puissance d'un produit :
On peut distribuer un exposant lorsqu'il affecte une parenthèse qui contient une multiplication.
||(ab)^{m}=a^{m}b^{m} ||

​|(2xy)^{3}=2^{3}x^{3}y^{3}|
​Puissance d'un quotient :
On peut distribuer un exposant lorsqu'il affecte une parenthèse qui contient une division.
|| \left( \frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}} \ \text{où} \ b\neq 0||

|\displaystyle \left( \frac{2}{3}\right)^{5}=\frac{2^{5}}{3^{5}}|
​Puissance d'une puissance :
On multiplie les exposants quand une puissance est affectée d'un exposant.
||(a^{m})^{n}=a^{mn}||

​|(2^{3})^{3}=2^{3\times 3}=2^{9}|

|((3^{2})^{3})^{4}=3^{2\times 3\times 4}=3^{24}|

Ces propriétés peuvent également être applicables si on modifie adéquatement les ensembles de nombres avec lesquels on travaille.
 
Si |a \in \mathbb{R}_+| et |\{m,n\} \subset \mathbb{Q}|, alors, |(a^m)^n = a^{m\times n}|.
||\begin{align} (3^{\frac{1}{2}})^{\frac{3}{5}} &= 3^{\frac{1}{2} \times \frac{3}{5}} \\ &= 3^{\frac{3}{10}}\end{align}||​


Lorsqu'on utilise la multiplication, on doit impérativement prêter une attention particulière à la valeur de l'exposant. Si l'exposant est le même, on peut effectuer la multiplication. Sinon, on ne peut déterminer le produit des deux termes.

Possible de calculer le produit (exposants identiques)
||\begin{align} 4^\color{blue}{5} \times 3^\color{blue}{5} &= (4\times 3)^\color{blue}{5} \\
&= 12^\color{blue}{5} \end{align}||
Impossible de calculer le produit (exposants différents)
||\begin{align} 2 \times 1,1^3 &= 2^\color{red}{1} \times 1,1^\color{blue}{3} \\
&= 2^\color{red}{1} \times (1,1)^\color{blue}{3} \\
&= 2 \times (1,1)^\color{blue}{3} \end{align}||
Comme on peut le constater dans l'encadré précédent, les parenthèses peuvent être utilisées pour faire la distinction entre deux notations exponentielles qu'on ne peut pas multiplier.

Ainsi, |2 \times 1,1^3 \not= 2,2^3|, l'équation demeure |2 \times  (1,1)^3|.

Exemples de résolution impliquant une seule propriété​

Exemple 1 (produit des puissances de même base)
||\begin{align} &&0,96^{7}&= 0,96^2 \times 0,96^x\\
&&0,96^7 &= 0,96^{2+x} \\
&\Rightarrow &7 &= 2+x \\
&&5 &= x \end{align}||
Exemple 2 (quotient des puissances de même base)
||\begin{align} && \frac{1,15^4}{1,15^2} &= 1,15^x \\
&& 1,15^{4-2}&= 1,15^x \\
&& 1,15^2 &= 1,15^x \\
&\Rightarrow &2 &= x \end{align}||
Exemple 3 (puissance d'un produit)
||\begin{align} && 1,2^2 \times 1,4^2 &= x^2 \\
&\Rightarrow &(1,2 \times 1,4)^2 &= x^2 \\
&& 1,68 ^2 &= x^2 \\
&\Rightarrow &1,68 &= x \end{align}||
Exemple 4 (puissance d'un produit)
||\begin{align} &&1,5^3 &= 8 \times 0,75^x \\
&&(2 \times 0,75)^3 &= 8 \times 0,75^x \\
&\Rightarrow & 2^3 \times 0,75^3 &= 8 \times 0,75^x \\
&& 8 \times 0,75^3 &= 8 \times 0,75^x \\
&& 0,75^3 &= 0,75^x \\
&\Rightarrow &3 &= x \end{align}||
Exemple 5 (puissance d'une puissance)
||\begin{align}
&&0,7^{2x} &= 0,49^3 \\
&&(\color{blue}{0,7^2})^x &= 0,49^3 \\
&&\color{blue}{0,49}^x &= 0,49^3 \\
&\Rightarrow &x &= 3 \end{align}||

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Exemple de résolution impliquant plusieurs propriétés

Dans le cas des résolutions d'équations, il peut aider de suivre la procédure suivante.

1. Isoler |x| comme exposant
2. Trouver des bases équivalentes
3. Isoler les notations exponentielles avec les bases équivalentes de chaque côté

4. Comparer les exposants

En fait, la stratégie qui se cache derrière cette marche à suivre est d'utiliser les propriétés des exposants afin d'obtenir des bases qui ont des valeurs équivalentes. Au final, il ne devrait rester que les exposants à comparer.

Résous l'équation suivante:
||500 (1,4)^{2+x} = 2,45 (28)^2||
1. Isoler |x| comme exposant
||\begin{align} 500 \color{blue}{(1,4)^{2+x}} &= 2,45 (28)^2 \\
500 \cdot \color{blue}{1,4^2 \cdot 1,4^x} &= 2,45 (28)^2 && \small \text{produit des puissances} \\
500 \cdot 1,96 \cdot 1,4^x &= 2,45 (28)^2 \\
980 (1,4)^x &= 2,45 (28)^2 \end{align}||
2. Trouver des bases équivalentes
||\begin{align}
980 (1,4)^x &= 2,45 (28)^2 \\
980 (\color{blue}{1,4})^x &= 2,45 (20 \cdot \color{blue}{1,4})^2 && \small \text{bases équivalentes}\\
980 (\color{blue}{1,4})^x &= 2,45 \cdot (20)^2 \cdot (\color{blue}{1,4})^2 && \small \text{puissance d'un produit} \\ \end{align}||
3. Isoler les notations exponentielles avec les bases équivalentes de chaque côté
||\begin{align}
980 (1,4)^x &= 2,45 \cdot (20)^2 \cdot (1,4)^2 \\
980 (1,4)^x &= 2,45 \cdot 400 (1,4)^2 \\
\frac{980 (1,4)^x}{\color{red}{980}} &= \frac{980 (1,4)^2}{\color{red}{980}} \\
1,4^x &= 1,4^2  \end{align}||
4. Comparer les exposants
||\begin{align}
&&1,4^x &= 1,4^2 \\
&\Rightarrow & x &= 2 \end{align}||
Advenant le cas où il semble impossible de trouver des bases équivalentes pour chacune des notations exponentielles, alors il faudra passer à la notation logarithmique. On peut se référer à la résolution d'équations impliquant les lois des logarithmes.

Autres exemples d'application​

Ces exemples font l'application des propriétés et des lois des exposants.


Voici une démarche que l'on peut utiliser pour simplifier une expression exponentielle: 
||\begin{align} (\color{red}{\sqrt [3]{3^{4}}}\times 5^{2})\div \left(\left(\frac{1}{5}\right)^{3}\times 3^{\frac{1}{3}}\right) &= (\color{red}{3^{\frac{4}{3}}}\times 5^{2})\div \left(\left(\color{blue}{\frac{1}{5}}\right)^{\color{blue}{3}}\times 3^{\frac{1}{3}}\right)\\\\ &= (3^{\frac{4}{3}}\times 5^{2})\div \left(\color{blue}{5^{\text{-}3}}\times 3^{\frac{1}{3}}\right)\\ &= \frac{3^{\frac{4}{3}}\times 5^{2}}{\color{blue}{5^{\text{-}3}}\times \color{red}{3^{\frac{1}{3}}}}\\\\ &= \frac{3^{\frac{4}{3}}\times 5^{2}}{​\color{red}{3^{\frac{1}{3}}}\times \color{blue}{5^{\text{-}3}}}\\\\ &= \frac{3^{\frac{4}{3}}}{3^{\frac{1}{3}}}\times \frac{5^{2}}{5^{\text{-}3}}\\\\ ​&=3^{\frac{4}{3}\text{-}\frac{1}{3}}\times 5^{2\text{-}^\text{-}3}\\ &=3\times 5^{5}\end{align}||


Le prochain exemple comporte des nombres et des variables :

Simplifie l'expression suivante en donnant une réponse où les exposants sont positifs.
||\begin{align}\left(\frac{2^{\frac{1}{4}}xy\times \color{red}{4} ​y}{\color{blue}{4} x^{2}y^{5}}\right)^{2}
&= \left(\frac{2^{\frac{1}{4}}xy\times \color{red}{2^{2}}y}{\color{blue}{2^{2}}x^{2}y^{5}}\right)^{2} && \text{changement en base 2} \\\\
&= \frac{2^{\frac{1}{2}}x^{2}y^{2}\times 2^{4}y^{2}}{2^{4}x^{4}y^{10}} && \text{distribution de l'exposant 2}\\\\
&=\frac{2^{\frac{1}{2}+4}x^{2}y^{2+2}}{2^{4}x^{4}y^{10}}&& \text{+ des exposants de même base}\\\\
&= \frac{2^{\frac{9}{2}}x^{2}y^{4}}{2^{4}x^{4}y^{10}}\\\\
&= 2^{\frac{9}{2}-4}x^{2-4}y^{4-10}&& \text{- des exposants de même base}\\\\
&= 2^{\frac{1}{2}}x^{-2}y^{-6}&&\\\\
&= \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2}y^{6}}&&\text{transformation des exposants -}\\\\
&= \frac{\sqrt{2}}{x^{2}y^{6}}&&\text{exposant fractionnaire en racine}\end{align}||

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Les propriétés des racines (exposant fractionnaire)

​Pour les propriétés suivantes​, il est important de se rappeler que
||a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}|| ||\text{où}\quad a \in \mathbb{R},\quad m \in \mathbb{Z}\quad \text{et}\quad n \in \mathbb{N}^*||


​Propriétés

​Exemples

​Produit de racines de même indice :
Le produit de la racine de même indice de deux nombres est équivalent à la racine du même indice du produit de ces nombres.
||\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \times b}||

​|\sqrt[4]{8}\times \sqrt[4]{7} = \sqrt[4]{8 \times 7}|
​Quotient de racines de même indice :
Le quotient de la racine de même indice de deux nombres est équivalent à la racine du même indice du quotient de ces nombres.
||\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}||

|\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{9}} = \sqrt[3]{\frac{2}{9}}|
​Factorisation d'une racine: 
On peut factoriser le radicande afin de simplifier l'écriture d'une racine.
||\sqrt[n]{a^n b} = a \sqrt[n]{b}||
||\begin{align} \sqrt[3]{108} &= \sqrt[3]{27 \times 4} \\ &= \sqrt[3]{27} \times \sqrt[3]{4} \\
&=\sqrt[3]{3^3} \times \sqrt[3]{4}\\
&= 3\sqrt[3]{4} \end{align}||

​Exemples d'applications impliquant les propriétés des racines

​En mathématique, l'utilisation de ses propriétés est surtout présente lors de l'analyse de la fonction racine carréela rationalisation d'une fraction et les coordonnées des points du cercle trigonométrique​.

​Exemple 1
Simplifie |\sqrt{12}|.
||\begin{align} \sqrt{12} &= \sqrt{4 \times 3} \\
&= \sqrt{4} \times \sqrt{3}\\
&=2\sqrt{3}\end{align}||

Exemple 2
Simplifie |\sqrt[3]{16x^4y^2}|.
||\begin{align} \sqrt[3]{\color{blue}{16}\color{red}{x^4}\color{magenta}{y^2}} &= \sqrt[3]{\color{blue}{8 \times 2} \color{red}{ x^3 \times x^1} \times \color{magenta}{y^2}}\\
&=\sqrt[3]{\color{blue}{8}\color{red}{x^3}} \times \sqrt[3]{\color{blue}{2}\color{red}{x^1}\color{magenta}{y^2}}\\
&=\sqrt[3]{\color{blue}{8}} \times \sqrt[3]{\color{red}{x^3}} \times \sqrt[3]{\color{blue}{2}\color{red}{x}\color{magenta}{y^2}}\\
&= \color{blue}{2}\color{red}{x}\sqrt[3]{\color{blue}{2}\color{red}{x}\color{magenta}{y^2}}\\
&= \color{blue}{2}\color{red}{x}({\color{blue}{2}\color{red}{x}\color{magenta}{y^2}})^{\frac{1}{3}} \end{align}||​

Exemple 3
Simplifie |\displaystyle \sqrt{\frac{36x^3y^4}{5z^6}}|.
||\begin{align}\sqrt{\frac{36x^3y^4}{5z^6}}
&=\frac{\sqrt{\color{blue}{36}\color{red}{x^3}\color{magenta}{y^4}}}{\sqrt{5z^6}}\\\\
&=\frac{\sqrt{\color{blue}{36}\color{red}{x^2\times x}\color{magenta}{y^4}}}{\sqrt{5z^6}}\\\\
&=\frac{\sqrt{\color{blue}{36}\color{red}{x^2}\color{magenta}{y^4}}\times \sqrt{\color{red}{x}}}{\sqrt{z^6}\times \sqrt{5}}\\\\
&=\frac{\color{blue}{6}\color{red}{x}\color{magenta}{y^2}\times \sqrt{\color{red}{x}}}{z^3\times \sqrt{5}}\\\\
&=\frac{\color{blue}{6}\color{red}{x}\color{magenta}{y^2}\times \sqrt{\color{red}{x}}}{z^3\times \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\\\​​
&=\frac{\color{blue}{6}\color{red}{x}\color{magenta}{y^2}\times \sqrt{\color{red}{x}}\times \sqrt{5}}{z^3\times \sqrt{5}\times \sqrt{5}} \\\\​
&=\frac{\color{blue}{6}\color{red}{x}\color{magenta}{y^2}\times \sqrt{\color{red}{x}\times 5}}{z^3\times \sqrt{5\times 5}} \\\\​
&=\frac{\color{blue}{6}\color{red}{x}\color{magenta}{y^2}\times \sqrt{5\color{red}{x}}}{z^3\times \sqrt{25}} \\\\​
&=\frac{\color{blue}{6}\color{red}{x}\color{magenta}{y^2}\sqrt{5\color{red}{x}}}{5z^3}\end{align}​||

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