Mathématique m1072

L'addition d'expressions algébriques

Pour additionner un polynôme à un autre, il faut additionner chacun des termes semblables du second polynôme à ceux du premier et réduire l'expression algébrique obtenue. On obtient alors un nouveau polynôme correspondant à la somme recherchée.

On peut donc définir trois étapes à suivre pour additionner des polynômes:

1. Regrouper les termes semblables.
2. Additionner les termes constants.
3. Additionner les coefficients des termes algébriques semblables.


On peut utiliser le calcul algébrique ou encore la méthode des tuiles algébriques pour effectuer l'addition d'expressions algébriques.

On retient que lors de l’addition:
• Seuls les termes semblables peuvent être simplifiés.
• Ce sont les coefficients de chacun des termes semblables qui sont additionnés.

Il est rare qu'une équation soit formée uniquement d'additions. Il faudra, dans ce cas, respecter la priorité des opérations lors de la réduction de l'expression algébrique.

Méthode 1 : Le calcul algébrique

L'addition de deux polynômes est obtenue en additionnant les termes semblables des deux polynômes. Le résultat obtenu sera sous forme de polynôme.

Premier exemple

Prenons l'expression algébrique suivante: ||(x^3+x^2+2x+1)+(x^2+xy+3x+y+3)|| Les parenthèses distinguent les deux polynômes que l'on doit additionner. Elles peuvent être omises étant donné que l'addition ne change pas les signes des coefficients du second polynôme.

Étape 1: Regrouper les termes semblables (les mêmes lettres affectées des mêmes exposants). ||x^3+\color{green}{x^2}+\color{green}{x^2}+xy+\color{red}{2x}+\color{red}{3x}+y+\color{blue}{1+3}||Étape 2: Additionner les termes constants. ||x^3+\color{green}{x^2}+\color{green}{x^2}+xy+\color{red}{2x}+\color{red}{3x}+y+\color{blue}{1+3}|| Étape 3: Additionner les coefficients des termes algébriques semblables. ||x^3+\color{green}{2x^2}+xy+\color{red}{5x}+y+\color{blue}{4}||La réponse est donc |x^3+2x^2+xy+5x+y+4|

 

Deuxième exemple

Prenons l'expression algébrique suivante; ||(2x^3+x^2-2x+2)+(x^3-3x^2+4x-5)||Les parenthèses distinguent les deux polynômes que l'on doit additionner. Elles peuvent être omises étant donné que l'addition ne change pas les signes des coefficients du second polynôme.
 
Étape 1: Regrouper les termes semblables (les mêmes lettres affectées des mêmes exposants). ||\color{green}{2x^3}+\color{green}{x^3}+\color{red}{x^2}+\color{red}{(-3x^2)}+\color{blue}{(-2x)}+\color{blue}{4x}+2-5|| Étape 2: Additionner les termes constants.||\color{green}{2x^3}+\color{green}{x^3}+\color{red}{x^2}+\color{red}{(-3x^2)}+\color{blue}{(-2x)}+\color{blue}{4x}-3||Étape 3: Additionner les coefficients des termes algébriques semblables.||\color{green}{3x^3}+\color{red}{(-2x^2)}+\color{blue}{2x}-3|| La réponse est donc |3x^3-2x^2+2x-3|

 

On peut vérifier si l'expression de départ est équivalente à l'expression réduite, on peut remplacer chaque variable par une valeur choisie et calculer la valeur de chaque expression. Si les expressions obtenues sont de même valeur, cela indique qu'elles sont équivalentes.

Si on vérifie le deuxième exemple ci-dessus: ||2x^3+x^2-2x+2+x^3-3x^2+4x-5=3x^3-2x^2+2x-3|| On choisit une valeur pour les variables. Par exemple, si |x = 2|: ||\begin{align}2(\color{red}{2})^3+\color{red}{2}^2-2(\color{red}{2})+2+\color{red}{2}^3-3(\color{red}{2})^2+4(\color{red}{2})-5&=3(\color{red}{2})^3-2(\color{red}{2})^2+2(\color{red}{2})-3\\ \\
16+4-4+2+8-12+8-5&=24-8+4-3\\ \\
17&=17\end{align}||Les deux expressions sont donc équivalentes.

 

Méthode 2: Les tuiles algébriques

Pour aider à mieux visualiser l'addition de polynômes, on peut la représenter à l’aide des tuiles algébriques. Lorsqu’on utilise les tuiles algébriques, il faut représenter tout d’abord chaque expression algébrique par un assemblage de tuiles. On rassemble par la suite les tuiles identiques et on fait l’addition de ces tuiles identiques.

Soit les deux polynômes suivants avec leur représentation des tuiles algébriques :
|x^3+x^2+2x+1|

|x^2+xy+3x+y+3|


L’addition de ces deux polynômes sera représentée de la façon suivante avec les tuiles algébriques.
|(x^3+x^2+2x+1)+(x^2+xy+3x+y+3)|

On doit regrouper les tuiles identiques.


On fait l’addition des tuiles.
|x^3+2x^2+xy+5x+y+4|

Les vidéos
 

 

Les exercices
Les références