Mathématique m1076

La division d'une expression algébrique par un monôme

​​​​​​Il est possible de réduire une expression algébrique en divisant les termes qu'elle contient.

Pour effectuer la division d'expressions algébriques, il y a deux règles importantes à suivre:

1. On divise les coefficients ensemble.

2. On soustrait les exposants d'une même base, qu'elle soit un nombre ou une variable.



 

 

Tous les termes, qu'ils soient semblables ou non, peuvent être divisés entre eux. Par contre, seuls les termes semblables peuvent être additionnés ou soustraits ensemble.

Il est rare qu'une équation soit formée uniquement de divisions. Il faudra, dans ce cas, respecter la priorité des opérations lors de la réduction de l'expression algébrique.

Pour diviser des expressions algébriques, il est essentiel de bien maîtriser les propriétés et les opérations sur les exposants.

Lors de la division d'expressions algébriques, plusieurs situations peuvent se présenter :

La division d’un monôme par un terme constant

Lorsqu’on divise un monôme par un terme constant, on divise le coefficient par le terme constant.

||12xy^{2}\div{3}\quad \Rightarrow \quad \displaystyle \frac{12xy^{2}}{3}=4xy^2||

La division d’un monôme par un monôme

Lorsqu’on divise un monôme par un monôme, on divise les coefficients. On soustrait les exposants des mêmes bases.

||\displaystyle \frac{x^{3}y^{4}}{xy^{2}}\quad \Rightarrow \quad x^{3-1}y^{4-2} = x^{2}y^{2}||

 

||\begin{align}25x^{3}y^{9}z\div(5x^{3}y^{6}) &\Rightarrow \displaystyle \frac{25x^{3}y^{9}z}{5x^{3}y^{6}}\\ \\
& = 5x^{3-3}y^{9-6}z\\ \\
& = 5y^{3}z\end{align}||

La division d’un polynôme par un monôme

Lorsqu’on divise un polynôme par un monôme, on divise chacun des termes du polynôme par le monôme. Pour chacune des divisions, on divise les coefficients et on soustrait les exposants des mêmes bases.


On divise chacun des termes du polynôme par le monôme.
 
On peut réécrire cette division de la façon suivante : ||\displaystyle \frac {12xy^{2} + 6x^{8}y^{6}}{-3x^{3}y^{4}} = \frac {12xy^{2}}{-3x^{3}y^{4}} + \frac {6x^{8}y^{6}}{-3x^{3}y^{4}}||Pour chacune des divisions, on divise les coefficients et on soustrait les exposants des mêmes variables. ||\begin{align}\displaystyle \frac {12xy^{2}}{-3x^{3}y^{4}} + \frac {6x^{8}y^{6}}{-3x^{3}y^{4}}& = (-4x^{1-3}y^{2-4}) + (-2x^{8-3}y^{6-4})\\ \\
&= -4x^{-2}y^{-2} - 2x^{5}y^{2}\end{align}||On réécrit la réponse pour qu'il n'y ait aucun exposant négatif. La réponse est donc:
|-\displaystyle \frac {4}{x^{2}y^{2}} - 2x^{5}y^{2}|


 
On ne doit jamais laisser d'exposants négatifs dans les réponses.  On doit utiliser une propriété des exposants pour les rendre positifs.  S’ils sont au dénominateur, ils vont au numérateur et vice-versa.
On écrit cela ainsi : |a^{-n} =\displaystyle \frac{1}{a^n}|.
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