Mathématique m1089

La méthode de réduction (élimination)

​​​La méthode de réduction, parfois nommée méthode d'élimination, est une méthode qui permet de résoudre algébriquement un système d'équations où les deux équations sont sous la forme |ax + by = c|.

On privilégie généralement la méthode de résolution d’un système par réduction lorsque les deux variables dépendantes et indépendantes du système ne sont pas isolées. Autrement dit lorsque le système a la forme suivante:

||\begin{cases} a_1y + b_1x = c_1 \\ a_2y + b_2x = c_2\end{cases}||
Il faut effectuer des manipulations algébriques afin que le coefficient devant l’une des variables soit le même (ou l'opposé) dans les deux équations. Ensuite, on soustrait (ou on additionne) les deux équations, éliminant ainsi la variable ayant un même coefficient.

La méthode de réduction peut être effectuée avec n'importe quelle variable, qu'elle soit dépendante ou indépendante.

La réduction peut s'effectuer de deux manières : soit en additionnant ou en soustrayant les équations terme à terme. On additionnera lorsque les coefficients d'une des variables sont opposés et on soustraira lorsque les coefficients d'une des variables sont égaux.



Pour procéder à une résolution algébrique d'un système d'équations par la méthode de réduction, il faut suivre les étapes suivantes:

1.
Dans le cas d'un problème écrit, définir les variables et traduire la situation par un système d'équations.

2.
Former, si nécessaire, un système d'équations équivalent dans lequel les coefficients d'une des variables sont opposés (ou égaux).

3.
Réduire en additionnant (ou en soustrayant) terme à terme les deux équations afin de former une équation du premier degré à une variable.

4.
Résoudre cette équation.

5.
Remplacer la valeur trouvée en 4 dans une des deux équations initiales afin de déterminer la valeur de la deuxième variable.

6. Valider le résultat en susbstituant les valeurs obtenues pour les variables dans chacune des équations du système.


Méthode de réduction - Soustraction des équations

Soit le système d’équations linéaires suivant :
||\begin{cases}15y = 9x + 6 \\ -5y = 2x - 10\end{cases}||
1. Dans le cas d'un problème écrit, définir les variables et traduire la situation par un système d'équations.
Comme le système est déjà donné, cette étape n'est pas nécessaire.

2. Former, si nécessaire, un système d'équations équivalent dans lequel les coefficients d'une des variables sont égaux.
Choisissons la variable |y|: on doit effectuer l’opération qui rend les coefficients de |y| égaux dans les deux équations. Cela signifie qu’on multiplie tous les termes de l’une des deux équations par la constante appropriée. Ici, on peut multiplier la deuxième équation par la constante |(-3)| :
||\begin{align}(-3)\cdot(-5y &= 2x - 10)\\ \Rightarrow 15y &= -6x + 30\end{align}||
3. Réduire en soustrayant terme à terme les deux équations afin de former une équation du premier degré à une variable.
||\begin{align}\phantom{^{-}\ }15y&=9x+6\\
^{-}\ 15y&=-6x+30\\
\phantom{^{-}\ }\phantom{1}\overline{\phantom{15}\color{red}{0y}}&\overline{=15x-24\phantom{15}}\end{align}||
4. Résoudre cette équation.
||\begin{align} 0 &= -15x + 24\\
0 \color{red}{+ 15x} &= -15x\color{red}{+ 15x}+ 24\\
15x &= 24\\
15x\color{red}{\div 15} &= 24\color{red}{\div 15}\\
x &= \small{\frac{24}{15}} = \small{\frac{8}{5}}\end{align}||
5. Remplacer la valeur trouvée en 4 dans une des deux équations initiales afin de déterminer la valeur de la deuxième variable.
||\begin{align} -5y &= 2x - 10\\

-5y &= 2\left(\small{\frac{8}{5}}\right) - 10\\

-5y &= \small{\frac{16}{5}} - 10\\

-5y &= \small{\frac{-34}{5}}\\

y &= \small{\frac{34}{25}}\end{align}||
6. Valider le résultat en susbstituant les valeurs obtenues pour les variables dans chacune des équations du système.
||\begin{align} 15y &= 9x + 6 & -5y &= 2x - 10\\
15\left(\small{\frac{34}{25}}\right)&=9\left(\small{\frac{8}{5}}\right)+6 & -5\left(\small{\frac{34}{25}}\right)&=2\left(\small{\frac{8}{5}}\right)-10\\
\small{\frac{102}{5}}&=\small\frac{72}{5}+6 & \small{\frac{-34}{5}}&=\small{\frac{16}{5}}-10\\
\small{\frac{102}{5}}&=\small\frac{102}{5} & \small{\frac{-34}{5}}&=\small{\frac{-34}{5}}\end{align}||
Comme ces valeurs vérifient les deux équations, on peut affirmer que le couple solution est donc |\displaystyle (\frac{8}{5},\frac{34}{25})|.


Méthode de réduction - Addition des équations

Dans l'exemple précédent, au lieu de multiplier la deuxième équation par |(-3)|, il aurait été possible de multiplier la deuxième équation par |(3)|. Dans ce cas, au lieu de soustraire, il faudra additionner les deux équations pour effectuer la réduction. Tout ceci mène au même résultat.
||\begin{align}(3)\cdot (-5y &= 2x - 10)\\
\Rightarrow -15y &=6x-30\end{align}||
On additionne les deux équations terme à terme, éliminant ainsi la variable |y| :
||\begin{align}\phantom{^{+}\ -}15y&=9x+6\\
^{+}\ -15y&=6x-30\\
\overline{\phantom{24}\color{red}{0y}}&\overline{=15x-24}\end{align}||
On résout l'équation à une variable obtenue en isolant la variable |x| :
||\begin{align} 0 &= 15x - 24\\
0 \color{red}{- 15x} &= 15x\color{red}{- 15x}- 24\\
-15x &= -24\\
15x\color{red}{\div -15} &= 24\color{red}{\div -15}\\
x &= \small{\frac{24}{15}} = \small{\frac{8}{5}}\end{align}||
On remarque alors que le même résultat est obtenu pour les deux façons d'effectuer la réduction. L’important dans la méthode de réduction, c’est de pouvoir faire disparaître une des deux variables du système d’équations pour obtenir une équation à une variable.


Méthode de réduction - Manipulations sur les deux équations

Soit le système d'équations linéaires suivant:
||\begin{cases} 2x+2y=12 \\ 3x-5y = 26\end{cases}||
1. Dans le cas d'un problème écrit, définir les variables et traduire la situation par un système d'équations.
Comme le système est déjà donné, cette étape n'est pas nécessaire.

2. Former, si nécessaire, un système d'équations équivalent dans lequel les coefficients d'une des variables sont égaux.
Choisissons la variable |x|: on doit effectuer l’opération qui rend les coefficients de |x| égaux dans les deux équations. Cela signifie qu’on multiplie tous les termes de l’une des deux équations par la constante appropriée. Ici, on peut multiplier la première équation par |3| et la deuxième par |2|.
Première équation
||\begin{align}(3)\cdot (2x + 2y &= 12)\\
\Rightarrow 6x + 6y &= 36\end{align}||
Deuxième équation
||\begin{align}(2)\cdot (3x - 5y &= 26)\\
\Rightarrow 6x - 10y &= 52\end{align}||
3. Réduire en soustrayant terme à terme les deux équations afin de former une équation du premier degré à une variable.
||\begin{align}\phantom{^{-}\ }6x+\phantom{1}6y&=36\\
^{-}\ 6x-10y&=52\phantom{-}\\
\overline{\color{red}{0x}+16y}&\overline{=-16}\end{align}||
4. Résoudre cette équation.
||\begin{align}0 + 16y &= -16\\
\frac{16y}{\color{red}{16}} &= \frac{-16}{\color{red}{16}}\\
y &= -1\end{align}||
5. Remplacer la valeur trouvée en 4 dans une des deux équations initiales afin de déterminer la valeur de la deuxième variable.
||\begin{align}6x + 6y &= 36\\
6x + 6(-1) &= 36\\
6x - 6 &= 36\\
6x - 6 \color{red}{+ 6} &= 36 \color{red}{+ 6}\\
6x &= 42\\
6x\color{red}{\div 6} &= 42\color{red}{\div 6}\\
x &= 7\end{align}||
6. Valider le résultat en susbstituant les valeurs obtenues pour les variables dans chacune des équations du système.
||\begin{align} 2x + 2y &= 12 & 3x - 5y &= 26\\
2(7)+2(-1)&=12 & 3(7)-5(-1)&=26\\
14-2&=12 & 21+5&=26\\
12&=12 & 26&=26\end{align}||
Comme ces valeurs vérifient les deux équations, on peut affirmer que le couple solution est donc |( 7 , -1)|.

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Les exercices
Les références