Mathématique m1091

La notion d'inéquation et la traduction d'un énoncé

Une inéquation est une inégalité mathématique impliquant une ou plusieurs variables pour lesquelles on cherchera un ensemble de valeurs (l'ensemble-solution) la rendant vraie.

Pour qu'un énoncé mathématique puisse être qualifié d'inéquation, deux items doivent s'y retrouver: une ou des variables, et une relation d'inégalité

|\bullet| |x>3| est une inéquation puisqu'il y a une variable et une relation d'inégalité.

|\bullet| |8>3| n'est pas une inéquation puisqu'il n'y a pas de variable.

|\bullet| |2m+6\le15| est une inéquation puisqu'il y a une variable et une relation d'inégalité.

|\bullet| |2x=14| n'est pas une inéquation puisqu'il s'agit d'une relation d'égalité et non d'inégalité.

|\bullet| |3+5=8| n'est pas une inéquation puisqu'il n'y a ni variable ni relation d'inégalité.

Voici les symboles d'inégalité utilisés dans les inéquations et leurs significations:

symbole                     signification                                    
|<| « est plus petit que » ou « est inférieur à »
|\le| « est plus petit ou égal à » ou « est inférieur ou égal à »
|>| « est plus grand que » ou « est supérieur à »
|\ge| « est plus grand ou égal à » ou « est supérieur ou égal à »

Contrairement à une équation, une inéquation n'a pas de solution unique, mais un ensemble de valeurs qui valident l'inéquation. On exprime donc les valeurs qui vérifient l'inéquation à l'aide d'un ensemble-solution.

La résolution d'une inéquation se déroule de manière semblable à celle d'une équation à deux exceptions près:

|\bullet| Les valeurs qui vérifient une inéquation forment un ensemble-solution. Il n'y a donc pas de solution unique à une inéquation contrairement à une équation.

|\bullet| Lorsqu'on multiplie ou on divise les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l'inéquation.

La traduction d'un énoncé de problème en une inéquation

Le passage d'un problème à une inéquation mathématique est comparable à la traduction d’une langue à  une autre. D’ailleurs, on dit souvent « traduire » un énoncé écrit en inéquation mathématique.

Afin de traduire un énoncé en inéquation, il faut suivre les étapes suivantes:

1. Lire attentivement le problème écrit et identifier les données connues et les variables.

2. Identifier la relation entre les variables.

3. Traduire cette relation par une inéquation ou par une expression algébrique.

Lorsqu'on traduit un énoncé en inéquation, il faut être attentif à certains mots clés. Ceux-ci nous donnent des indices sur le symbole d'inégalité à employer.

|\bullet| Il y a plus de 5 personnes. |\to| |x > 5|

|\bullet| La somme de deux nombres est inférieur à 36. |\to| |x + y < 36|

|\bullet| Il y a au moins 150 spectateurs. |\to| |x \ge 150|

|\bullet| Il ne peut pas travailler plus de 40 heures par semaine. |\to| |x \le 40|

L'expression d'un ensemble-solution

Il existe différentes façons d'exprimer l'ensemble-solution d'une inéquation.

En compréhension

La compréhension présente à la fois l'inéquation représentant la situation à l'étude ainsi que l'ensemble de nombres dans lequel cette inégalité se présente.

|\bullet| Les nombres entiers supérieurs à -3 et inférieurs à 7. |\to| |\{x \in \mathbb{Z} \mid -3 < x < 7 \}|

|\bullet| Les nombres naturels supérieurs ou égaux à 2. |\to| |\{x \in \mathbb{N} \mid x \ge 2 \}|

|\bullet| Les nombres réels supérieurs ou égaux à -5 et inférieurs à 6. |\to| |\{x \in \mathbb{R} \mid -5 \le x < 6 \}|

Sur une droite numérique

Les inéquations à une variable peuvent être représentées sur une droite numérique.

On représente la droite numérique et on positionne le nombre de notre inégalité pour commencer.

|\bullet| Si le signe de l'inéquation contient une égalité |(\le, \ge)|, on place un point plein |(\bullet)| pour indiquer que l'on inclut ce point dans les solutions.

|\bullet| Si le signe de l'inéquation ne contient pas d'égalité |(<, >)|, on place un point vide |(\circ)| pour indiquer que l'on exclut ce point des solutions.


Exemple d'inéquation contenant une égalité

Soit l'inéquation suivante:
|2x+5\le9|
|2x+5\color{red}{-5}\le9\color{red}{-5}|
|2x\le4|
|\frac{2x}{\color{red}{2}}\le\frac{4}{\color{red}{2}}|
|x\le2|

Dans cet exemple, un point plein doit être indiqué sur le nombre 2 puisqu'une égalité est présente dans l'inéquation.


Il faut ensuite représenter l’inégalité de la solution de l'inéquation. Puisqu'il n'y a pas d'ensemble de nombre spécifié en début de problème, on considère que l'ensemble-solution fait parti des nombres réels. Il existe donc une infinité de solution pour les inéquations.

Dans l’exemple, les solutions sont tous les nombres plus petits ou égaux à 2. C’est-à-dire : 2, 1, ½, ¼, 0, -1, -2, … sont des solutions de notre inéquation.

Pour représenter ceci, on fait une ligne pour indiquer toutes les valeurs solutions de l’inéquation.

Exemple d'inéquation ne contenant pas d'égalité



Comme il n'y a pas d'égalité dans cette inéquation, un point vide indiquera l'extrémité de l'inéquation.

 

Exemples d'inéquations dans l'univers des nombres entiers

|\{x \in \mathbb{Z} \mid -2 < x < 3 \}|


|\{x \in \mathbb{Z} \mid -2 \le x \le 3 \}|

En intervalles et en accolades (extension)

Il est aussi possible d'exprimer l'ensemble-solution d'une inéquation en intervalles ou en accolades.

|\bullet| Les accolades ne peuvent être utilisées que lorsque l'ensemble-solution fait parti des nombres entiers. Il suffit de faire la liste des réponses possibles.

|\{x \in \mathbb{Z} \mid -2 < x < 3 \}| |\to| |\{-1, 0, 1, 2 \}|

|\{x \in \mathbb{Z} \mid -2 \le x \le 3 \}| |\to| |\{-2, -1, 0, 1, 2, 3 \}|

|\{x \in \mathbb{Z} \mid x \le 3 \}| |\to| |\{..., -2, -1, 0, 1, 2, 3 \}|

|\bullet| L'intervalle doit être utilisé lorsque l'ensemble-solution fait parti des nombres réels et qu'il admet tous les nombres entre les deux bornes de l'intervalle. Il est alors important de faire attention au sens des crochets.

|\{x \in \mathbb{R} \mid -5 \le x < 6 \}| |\to| |[-5, 6[|

|\{x \in \mathbb{R} \mid x < 4 \}| |\to| |]-\infty, 4[|

|\{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 6 \}| |\to| |[6, +\infty[|

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