Mathématique m1092

Résoudre un problème d'optimisation

​Dans certaines situations faisant intervenir un système d'inéquations de premier degré à deux variables, l'objectif vise à déterminer la solution la plus avantageuse. Cette solution peut correspondre à la valeur la plus élevée, comme dans le cas d'un revenu, ou à la valeur la moins élevée, comme dans le cas d'un coût.

Fait à noter, le même genre de démarche peut être utilisée pour les systèmes d'inéquations de second degré à deux variables.

Résoudre une problème d'optimisation, c'est rechercher le couple (x,y) qui, selon le contexte, maximise ou minimise la fonction à optimiser.

La fonction à optimiser, aussi appelée la  fonction objectif, s'écrit généralement sous forme |z=ax+by+c|. Elle permet de comparer des couples (x,y) et de déterminer lequel constitue la solution la plus avantageuse en tenant compte de l'objectif visé.

Résolution d'un problème d'optimisation

Les étapes suivantes permettent de résoudre un problème d'optimisation:

1. Identifier les variables.
2. Traduire les contraintes de la situation par un système d'inéquations.
3. Établir la règle de la fonction à optimiser.
4. Tracer le polygone de contraintes.
5. Déterminer les coordonnées des sommets du polygone de contraintes.
6. Évaluer la fonction à optimiser en chaque sommet du polygone de contraintes.
7. Déduire le ou les sommets dont les coordonnées maximisent (ou minimisent) la fonction à optimiser et donner la réponse.

Il existe deux cas de solutions possibles:

  • Les coordonnées d'un seul point du polygone de contraintes engendrent la solution optimale. Ce point correspond généralement à un sommet du polygone.
  • Les coordonnées de plusieurs points du polygone de contraintes engendrent la solution optimale. Ces points forment généralement un côté du polygone.

Lorsqu'on veut déterminer les sommets qui engendrent la solution optimale, on peut procéder de deux façons:

  • La technique de la droite baladeuse permet de repérer graphiquement les coordonnées du sommet qui engendrent la valeur optimale.
  • La technique des sommets du polygone de contraintes permet de repérer algébriquement les coordonnées du sommet qui engendrent la valeur optimale. 

La droite baladeuse est une droite de pente |\displaystyle -\frac{a}{b}| qui se « balade » dans le plan cartésien.

Lorsque cette droite part de l’origine, le premier sommet que cette droite touche minimisera la situation et le dernier sommet qu’elle touche maximisera la situation.

Exemples de problèmes d'optimisation

Résolution par la technique des sommets du polygone de contraintes

Mélanie gagne sa vie grâce à son troupeau de trente chèvres qui produisent chacune au plus 20 litres de lait par semaine. Elle transforme ce lait en deux produits qu’elle vend ensuite au marché : le yogourt et le fromage de chèvre.

Il faut 1,5 litres de lait pour faire 1 litre de yogourt. Il faut aussi 6 litres de lait pour produire 1 litre de fromage.

Compte tenu de la demande pour ses produits, Mélanie doit produire au moins trois fois plus de yogourt que de fromage et elle doit produire au moins 200 litres de yogourt par semaine.

Au marché, elle vend son yogourt 36$ le litre et son fromage 6$ le litre.

Combien de litres de yogourt et de litres de fromage Mélanie doit-elle produire par semaine si elle désire maximiser ses revenus ?

1. Identifier les variables

x: nombre de litres de yogourt produit par semaine
y: nombre de litres de fromage produit par semaine

2. Traduire les contraintes par un système d'inéquations

La somme du lait à utiliser pour le yogourt et le fromage ne doit pas dépasser 600 litres par semaine:
|1,5x + 6y \le 600|

La quantité de yogourt doit être au moins trois fois plus grande que la quantité de fromage:
|x\ge 3y|

Au moins 200 litres de yogourt doit être produit par semaine:
|x\ge 200|

Le nombre de litres de yogourt produit par semaine ne peut pas être négatif:
|x\ge 0|

Le nombre de litres de fromage produit par semaine ne peut pas être négatif:
|y\ge 0|

3. Établir la règle de la fonction à optimiser

Mélanie veut maximiser ses revenus. Elle vend son yogourt 36$ le litre et son fromage 6$ le litre. La fonction à optimiser est donc:
|z = 36x + 6y|

4. Tracer le polygone de contraintes


5. Déterminer les coordonnées des sommets du polygone de contraintes
À l'aide des méthodes pour résoudre un système d'équations linéaires, on peut déterminer les coordonnées des différents sommets du polygone de contraintes.

Coordonnées du sommet A: (200, 0)
Coordonnées du sommet B: (200, 50)
Coordonnées du sommet C: (400, 0)

6. Évaluer la fonction à optimiser en chaque sommet du polygone


7. Déduire le sommet qui optimise la fonction
Mélanie veut maximiser ses revenus. Comme le sommet C est celui qui procure le revenu maximal, ce sont ses coordonnées qui optimisent notre situation. Mélanie devra donc produire 400 litres de yogourt, mais ne pas produire de fromage afin de s'assurer les revenus les plus élevés possibles.

Afin de procéder un peu plus rapidement, on peut utiliser la technique de la droite baladeuse afin de cibler le sommet qui optimise la fonction avec laquelle on travaille.

Avec cette technique, la solution optimale est toujours associée aux coordonnées du "premier" ou du "dernier" sommet qui est touché par la droite baladeuse.

Fait à noter, si la droite baladeuse est parallèle à un des côtés du polygone de contraintes, il y aura plus d'une solution optimale, voire même une infinité si x et y font partie des |\mathbb{R}|.

Ajout d'une contrainte à un problème d'optimisation

L'ajout d'une contrainte dans un polygone consiste à ajouter une nouvelle inéquation qui va changer celui-ci.

Victor est vendeur de planches à roulettes. Il vend ses planches amateurs 50$ et ses planches professionnelles 300$. À tout moment, il doit respecter certaines contraintes quant à la quantité de planches à roulettes offertes dans son magasin. Le polygone ci-dessous illustre ces contraintes.

x: le nombre de planches professionnelles
y: le nombre de planches amateurs

m1092i1.JPG

Victor veut faire une grande vente au cours du week-end prochain. Jean-Luc, son conseiller aux ventes, lui suggère d'avoir au plus 80 planches professionnelles dans son magasin.

Est-ce que Victor doit suivre les conseils de Jean-Luc?

À partir de la fonction optimiser, on calcule d'abord le profit maximal dans le polygone sans la nouvelle contrainte.

z=300x+50y

Sommet      z=300x+50y                     Profit             
(20,40)       z=300(20)+50(40)          8 000$
(30,90)       z=300(30)+50(90)          13 500$
(110,50)     z=300(110)+50(50)        35 500$
(50,10)       z=300(50)+50(10)         15 500$

Le profit maximal est de 35 500$. En ajoutant la nouvelle contrainte, on retrouve le polygone suivantm1092i2.JPG

On refait le calcul du profit maximal en fonction des nouveaux sommets.

z=300x+50y

Sommet           z=300x+50y                 Profit
(20,40)            z=300(20)+50(40)       8 000$
(50,10)            z=300(50)+50(10)      15 500$
(80,30)            z=300(80)+50(30)      25 500$
(80,65)            z=300(80)+50(65)      27 250$
(30,90)            z=300(30)+50(90)      13 500$

On remarque que le profit maximal est de 27 250$. Victor ne doit donc pas suivre les conseils de Jean-Luc, car il aura une perte de profit de 8250$.

Les vidéos



Les exercices
Les références