Mathématique m1094

Le taux de variation

​Dans une relation entre deux variables, le taux de variation est la comparaison entre deux variations correspondantes de ces variables. 

Lorsque deux valeurs sont en relation, une variation des valeurs de la variable indépendante entraîne une variation des valeurs correspondantes de la variable dépendante. Il est alors possible de définir le taux de variation de la manière suivante:

|\text{Taux de variation} = \displaystyle \frac{\text{Variation de la variable dépendante}}{\text{Variation de la variable indépendante}}|

Ce qui peut être simplifié par l'expression suivante:

|\text{Taux de variation}=\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}|

où |(x_1,y_1)| et |(x_2,y_2)| sont deux points distincts de la droite et |\Delta| est la lettre grecque delta représentant une variation.

Pour trouver le taux de variation, il est important de toujours bien identifier la variable dépendante et la variable indépendante.

Comment trouver le taux de variation à l'aide de la table de valeurs d'une fonction affine

Pour déterminer le taux de variation d'une fonction affine à l'aide d'une table de valeurs, il suffit de choisir deux couples pour ensuite effectuer le calcul du taux de variation à l'aide de la formule présentée ci-dessus.
Situation problème:
Marc vient de s’ouvrir un magasin d’impression. Il a acheté une photocopieuse haute performance. Il a établi les coûts suivants pour l’utilisation de son photocopieur. Quel est le prix par photocopie? (Ce prix par photocopie correspond au taux de variation de la situation.)
1. Identifier les variables dépendante et indépendante
|x|= le nombre de photocopies
|y|= coût à débourser

2. Choisir deux couples dans la table de valeurs

3. Appliquer la formule du taux de variation

Dans cette situation, le taux de variation nous indique que le coût pour une photocopie est de |0,13$|.

Comment trouver le taux de variation à l'aide du graphique d'une fonction affine

Pour déterminer le taux de variation d'une fonction affine à l'aide d'un graphique, il suffit de choisir deux points pour ensuite effectuer le calcul du taux de variation à l'aide de la formule présentée ci-dessus avec les coordonnées des deux points sélectionnés.

Soit le graphique suivant:
1. Sélectionner deux points sur la droite
2. Appliquer la formule du taux de varation


Réponse: Le taux de variation de ce graphique est 2.

 

On peut calculer manuellement le taux de variation.
Prenons la situation suivante en prenant pour acquis que les habitudes de consommation de l'individu analysé sont constantes.

m1094i20.PNG

1. On calcule le déplacement en y (en rouge), puis en x (en bleu) entre deux points du graphique.
m1094i21.PNG

2. Le rapport du déplacement vertical sur le déplacement horizontal donnera la pente:
​|\text{taux de variation} = \displaystyle \frac{\color{red}{-1000}}{\color{blue}{+6}} \approx - 166,67 \$ \backslash \text{mois}|

Comment trouver le taux de variation de l'équation d’une fonction affine

Le taux de variation est représenté par le coefficient de la variable indépendante (x). Dans l'équation ci-dessous, la lettre |a| représente ce taux de variation.

||y=\color{red}{a}x+b||

Voici quelques exemple d'équations et leurs taux de variation correspondant:

Pour déterminer le taux de variation, |y| doit toujours être seul d'un côté de l'équation. Bref, l'équation doit être sous la forme |y=ax+b|. Si tel n'est pas le cas, on peut isoler la variable |y|.

Voici trois exemples où l'on cherche le taux de variation:

Comment trouver le taux de variation dans un contexte écrit

Pour comprendre comment trouver le taux de variation dans un texte, il faut déterminer les variables indépendante et dépendante, trouver deux couples de données et ensuite calculer le taux de variation à l'aide de la formule.

Rodolphe est en camping. Il se réveille à 7h et il note que la température à l’intérieur de sa tente est de 15ºC. À 11 heures, il note que la température à l’intérieur de sa tente est maintenant de 21ºC. De combien la température intérieure de sa tente a-t-elle augmenté en moyenne par heure au courant de la matinée ?

1. Identifier les variables dépendante et indépendante
|x|=le nombre d'heures
|y|= la température

2. Chercher deux couples de données dans le texte
À 7 heures, la température est de 15ºC (7, 15) et à 11h, la température est de 21ºC (11, 21).

3. Appliquer la formule du taux de variation

Réponse: Le taux de variation est |1,5^{\circ}C / h|.

 

En géométrie analytique, le taux de variation est nommé « pente » de la droite.
|\bullet| La pente d'une droite

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