Mathématique m1197

Le périmètre et l'aire des polygones réguliers

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Le polygone est une figure plane dont les calculs de périmètre et d'aire nécessitent la connaissance de certaines mesures spécifiques. Pour bien situer ces mesures dans les polygones réguliers, il est important de connaître ses propriétés

Afin de bien appliquer ces deux différents concepts, il est important de se rappeler de la différence entre le périmètre et l'aire​ d'une figure géométrique.&

Le périmètre des polygones réguliers

Comme pour les polygones en général, on peut déterminer la mesure du périmètre en additionnant la mesure de tous les côtés. Or, les propriétés des polygones réguliers font en sorte que l'on peut généraliser ce calcul à l'aide d'une formule. 

||\begin{align*}
P_\text{polygones réguliers} & = \color{red}{a}+ \color{blue}{b} + \color{green}{c} + \color{fuchsia}{d} + ... \\
&= \color{green}{c + c + c + c} + ... \\
&= n \cdot \color{green}{c}
\end{align*}||
où |\color{green}{c} = | mesure d'un côté du polygone régulier et |n=| nombre de côtés du polygone. 
m1197i10(final).gif

Peu importe la forme de la formule utilisée, le résultat final du périmètre d'un polygone sera toujours le même. 


Lequel de ces deux polygones réguliers a le plus grand périmètre ?
m1197i11.PNG 

1. Identifier les mesures essentielles
|\color{blue}{\text{Hexagone régulier}}: \color{green}{c = 10 \ m}| et |n = 6|
|\color{red}{\text{Octogone régulier}}: \color{fuchsia}{c = 8 \ m}|​ et |n=8|

2. Appliquer la formule
||\begin{align*}
\color{blue}{P_\text{hexagone régulier}} &= n\cdot \color{green}{c} \\
&= 6 \cdot \color{green}{10} \\
&= 60 \ m \\
\\
\color{red}{P_\text{octogone régulier}} &= n\cdot \color{fuchsia}{c} \\
&= 8 \cdot \color{fuchsia}{8} \\
&= 64 \ m
\end{align*}||

3. Interpréter la réponse
Le polygone régulier ayant le plus grand périmètre est l'octogone. 

Dans certains cas, on peut déduire la mesure d'un côté en utlisant la relation de Pythagore.

L'aire des polygones réguliers

De par leur construction, on peut utiliser deux formules qui sont très similaires, mais dont le raisonnement caché derrière leur démonstration respective est différent. 

Méthode de la somme des aires des triangles

De par la définition d'un polygone régulier​, on peut le décomposer en triangles isométriques pour ensuite déterminer l'aire totale occupée par ces triangles.
||A_\text{polygone régulier} =\left( \displaystyle \frac{\color{blue}{b} \cdot \color{red}{h}}{2}\right) \cdot n||
où |\color{blue}{b} =| mesure de la base d'un triangle, |\color{red}{h}=| mesure de la hauteur d'un triangle et
|n=| nombre de triangles qui composent le polygone. 

Pour bien comprendre la justesse de cette formule, on peut utiliser le raisonnement suivant. 

 Somme des aires des triangles

​​

Comme le suggère l'animation, on voit que le polygone régulier en question est formé de |8| triangles isométriques. Ainsi, on peut généraliser et déduire les égalités suivantes:

||\begin{align*}
A_\text{polygone régulier} & = A_\text{triangles} \cdot \text{nb de triangles} & \\
&= \left(\frac{\color{blue}{b} \cdot \color{red}{h}}{2}\right) \cdot n & (\text{selon la formule d'aire​}) \end{align*}||
La méthode de la somme des aires des triangles permet de calculer l'aire d'un polygone régulier. Pour y arriver, il suffit de connaître la mesure d'un côté et de l'apothème du polygone.

Quelle est l'aire de ce pentagone régulier ?
m1197i15.PNG 
1. Identifier les mesures essentielles
|\color{blue}{b = 4,36 \ cm}|
|\color{red}{h = 3 \ cm}|
|n = 5|

2. Appliquer la formule
||\begin{align*}
A_\text{pentagone} &= \displaystyle \frac{\color{blue}{b} \cdot \color{red}{h}}{2} \cdot n \\
&=\displaystyle \frac{\color{blue}{​4,36} \cdot \color{red}{3}}{2} \cdot 5 \\
&= 32,7 \ cm^2
\end{align*}||
3. Interpréter la réponse
L'aire de ce pentagone est de |32,7 \ cm^2|.

Méthode de la formule de l'aire des polygones

Par ailleurs, on peut directement se fier aux mesures de l'apothème et d'un côté du polygone pour calculer son aire. 

||\begin{align*}
A_\text{polygone régulier} &= \displaystyle \frac{\color{blue}{c} \cdot \color{red}{a} \cdot n}{2}\\
&= \displaystyle \frac{(\color{blue}{c}\cdot n) \cdot \color{red}{a}}{2}\\
&= \frac{\text{Périmètre} \cdot \color{red}{a}}{2}
\end{align*}||
où |\color{blue}{c}=| mesure d'un côté, |\color{red}{a}=| mesure de l'apothème  et |n=| nombre de côtés du polygone régulier.

Pour bien comprendre la raison pour laquelle on voit apparaître la notion de périmètre dans la formule de l'aire, on peut se fier aux explications suivantes.

Formule d'aire d'un polygone régulier
m1197i13(final).gif 
Avec l'animation précédente, on voit que l'on peut associer deux décompositions du même polygone régulier (une grise et une rose) pour former un parallélogramme. Ainsi, on peut dégager les égalités suivantes:
||\begin{align*}
2 \cdot A_{\text{polygone régulier}} &= A_\text{parallélogramme} & &\small(\text{selon l'animation})\\
A_\text{polygone régulier} &= \frac{A_\text{parallélogramme}}{2} & &\small(\text{isole l'aire du polygone régulier})\\
&= \frac{\color{blue}{b} \cdot \color{red}{h}}{2} & &\small(\text{formule d'aire du parallélogramme})\\
&= \frac{ \color{blue}{n \cdot c} \cdot \color{red}{a}}{2} & &\small(\text{par déduction}, \ \color{blue}{b = n \cdot c} \ \text{et} \ \color{red}{h = a})\\
A_\text{polygone régulier} &= \frac{c \cdot a \cdot n}{2} & &\small(\text{commutativité de la multiplication})
\end{align*}||

​De par sa position relative au polygone régulier qu'elle définit, l'apothème​ peut fournir plusieurs informations sur la mesure d'un côté. ​​
Quelle est l'aire de ce pentagone régulier ? 
m1197i16.PNG 
1. Identifier les mesures essentielles 
|c = 2 \cdot \color{blue}{2} = 4 \ cm|
|\color{red}{a = 2,75 \ cm}|
|n = 5|

2. Appliquer la formule 
||\begin{align*}
A_\text{polygone régulier} &= \displaystyle \frac{c \cdot \color{red}{a} \cdot n}{2} \\
&= \frac{4 \cdot \color{red}{2,75} \cdot 5}{2}\\
&= 27,5 \ cm^2
\end{align*}||​
3. Interpréter la réponse
L'aire de ce pentagone régulier est de |27,5​ \ cm^2|.
​​​​
Les vidéos

​​

 
Les exercices
Les références