Mathématique m1199

Le périmètre et l'aire des quadrilatères

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​De façon générale, les calculs du périmètre et de l'aire des quadrilatêres convexes font référence aux mêmes concepts: les mesures de la base, de la hauteur​ ou des diagonales. Par contre, il faut savoir lesquels de ces concepts il faut utiliser au moment opportun.  
Les quadrilatères​​
​​​​Cerf-vo​lant

Afin de bien appliquer ces deux différents concepts, il est important de se rappeler de la différence entre le périmètre et l'aire​ d'une figure géométrique. 

​Les quadrilatères

Peu importe le quadrilatère avec lequel on travaille, on peut toujours déterminer son périmètre en additionnant la mesure de chacun de ses côtés. Ainsi, on obtient une mesur​e de longueur à une dimension.

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Pour ce qui est de son aire, on peut parfois s'en tirer en utiilsant une feuille quadrillées dont chacun des carrés à une aire précise. En modifiant un peu la figure initiale, on peut arriver à déterminer l'aire du quadrilatère.

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En déplaçant certaines parties du quadrilatère original, on peut déduire que ce polygone a une aire de |5 \ cm^2|.

Par contre, certains quadrilatères ont des propriétés particulières au niveau de la mesure de leurs côtés. De cette façon, il est possible de dégager des formules de périmètre et d'aire qui sont plus spécifiques. Par ailleurs, ces formules seront très utiles pour trouver des mesures manquantes

Carré

Pour ce qui est du carré, on utilisera le fait qu'il est composé de quatre côtés isométriques et de quatre angles droits pour déduire les formules de périmètre et d'aire qui y sont associées.​

Périmètre du carré

​||\begin{align*}
P_\text{carré}&= \color{green}{a}+\color{blue}{b}+\color{red}{c}+\color{fuchsia}{d} \\
&= \color{red}{c+c+c+c} \\
&= 4\cdot \color{red}{c}​
\end{align*}||
où |\color{red}{c}=| mesure d'un côté.
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Ainsi, une seule information est nécessaire pour calculer le périmètre d'un carré : la mesure d'un de ses côtés.

Pour s'assurer que tout avait été complété en bonne et due forme, un entrepreneur fait le tour, en marchant, du nouveau bâtiment commercial que son équipe a construit. 
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Combien de temps va-t-il prendre pour faire le tour de cette nouvelle construction si on sait qu'il marchera à une vitesse de |80 \ m\backslash min| ?

1. Identifier les mesures essentielles
||c = 52,5 \ m||
2. Appliquer la formule
||\begin{align*}
P_\text{carré} &= 4\cdot c \\
&= 4 \cdot 52,5 \ m \\
&= 210 \ m 
\end{align*}||
3. Interpréter la réponse
Si il prend une minute pour parcourir |80 \ m|, alors le temps nécessaire pour faire le tour du commerce se calcule de la façon suivante:
||\text{Temps} = 210 \div 80 \approx 2,63 \ min||. 

Aire​ du carré

​||\begin{align*}
A_\text{carré}&= c \cdot c \\
&= c^2
\end{align*}||
où |c=| mesure d'un côté
Pour démontrer la formule du calcul de l'aire d'un carré, on peut se référer au concept de la multiplication.

​Démonstration de la formule d'aire d'un carré
Quand on veut calculer l'aire d'une figure, on cherche à déterminer le nombre d'unités carrées qui la composent. ​
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Exemple 1
Il y a |\color{red}{3 \ \text{rangées}}| de |\color{blue}{3 \ \text{espaces}}| de |1 \ cm^2| chacun. Ainsi,
||\begin{align*}
A_\text{carré} &= \text{nb total d'espaces} \cdot 1 \ cm^2  \\
&=(\color{red}{3} \cdot \color{blue}{3}) \cdot 1 \\
&= \color{red}{c} \cdot \color{blue}{c} \\
&= c^2 
\end{align*}||
Exemple 2
Il y a |\color{green}{5 \ \text{rangées}}| de |\color{fuchsia}{5  \ \text{espaces}}| de |1 \ cm^2| chacun. Ainsi,
||\begin{align*}
A_\text{carré} &= \text{nb total d'espaces} \cdot 1 \ cm^2  \\
&=(\color{green}{5} \cdot \color{fuchsia}{5}) \cdot 1 \\
&= \color{green}{c} \cdot \color{fuchsia}{c} \\
&= c^2 
\end{align*}||
Et on pourrait continuer à plusieurs autres exemples de même nature pour toujours en arriver à la même formule.

Puisque les angles mesurent tous |90^\circ|, une seule information est nécessaire pour calculer l'aire d'un carré : la mesure d'un de ses côtés.

Le propriétaire d'une maison veut connaître la superficie de son plancher, car il veut y installer du bois franc.
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Est-ce qu'il aura assez d'un budget de |1 \ 000 $| si on sait que le prix du matériau qu'il veut utiliser se vend |9,95 $ / m^2| ?

1. Identifier les mesures essentielles
||c = 12 \ m||
2. Appliquer la formule
||\begin{align*}
A_\text{carré} &= c^2 \\
&= 12^2 \\
&= 144 \ m^2 
\end{align*}||
3. Interpréter la réponse
Ainsi, |\text{Coût} = 144 \cdot 9,95 = 1 \ 432,80$|. Son budget ne sera donc pas suffisant. 

Rectangle

​En ce qui concerne cette figure plane, on doit se rappeler que les côtés opposés sont isométriques et parallèles. 

Périmètre du rectangle

||\begin{align*}
P_\text{rectangle} &= a+b+c+d \\
&= \color{red}{h + h} + \color{blue}{b + b} \\
&= 2\color{red}{h} + 2\color{blue}{b} \\
&= 2 (\color{red}{h}+\color{blue}{b})
\end{align*}||
où |\color{blue}{b}=| mesure de la base et |\color{red}{h}=| mesure de la hauteur.
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Comme on peut le voir dans l'encadré prédécent, la formule peut s'écrire de trois façons différentes. Peu importe la notation choisie, les résultats fnaux seront les mêmes. 

Pour bien délimiter le jardin, Julien décide d'installer des bordure de ciment. 
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À combien s'élèvera la facture de cet aménagement si Julien sait qu'un bloc d'une longueur de |90 \ cm| se détaille au prix de |8,95$| ?

**Attention, on doit absolument se procurer le bloc au complet lors de l'achat.

1. Identifier les mesures essentielles
||\color{blue}{b = 6 \ m}||
||\color{red}{h = 10,5 \ m}||
2. Appliquer la formule
||\begin{align*}
P_\text{rectangle} &= 2(\color{blue}{b}+\color{red}{h}) \\
&= 2 (\color{blue}{6} +\color{red}{10,5}) \\
&= 33 \ m \\
&= 3 \ 300 \ cm
\end{align*}||
3. Interpréter la réponse
Ainsi,
||\text{nb de blocs} = 3 \ 300 \div 90 \approx 36,67||.
Julien devra donc acheter |37| blocs.
Finalement,
||\text{Coût} = 37 \cdot 8,95 = 331,15$||.

Il est à noter que les mesures de la base et de la hauteur ont été attribuées arbitrairement. En effet, le seul lien qu'il y a entre une base et une hauteur est leur perpendicularité. Dans l'exemple précédent, on aurait pu décider que |\color{blue}{b = 10,5 \ m}| et |\color{red}{h=6 \ m}| et le résultat aurait été le même. 

Aire​ du rectangle

||A_\text{rectangle} = \color{blue}{b } \cdot  \color{red}{h}||
avec |\color{blue}{b}=|mesure de la base et |\color{red}{h}=|mesure de la hauteur.
Pour démontrer la véracité de la formule, on peut utiliser le concept de la multiplication.

​Démonstration de la formule d'aire d'un rectangle
Quand on veut calculer l'aire d'une figure, on cherche à déterminer le nombre d'unités carrées qui la composent.
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Exemple 1
Il y a |\color{red}{2 \ \text{rangées}}| de |\color{blue}{3 \ \text{espaces}}| de |1 \ cm^2| chacun. Ainsi,
||\begin{align*}
A_\text{rectangle} &= \text{nb total d'espaces} \cdot 1 \ cm^2  \\
&=(\color{red}{2} \cdot \color{blue}{3}) \cdot 1 \\
&= \color{red}{h} \cdot \color{blue}{b}
\end{align*}||
Exemple 2
Il y a |\color{green}{3 \ \text{rangées}}| de |\color{fuchsia}{5  \ \text{espaces}}| de |1 \ cm^2| chacun. Ainsi,
||\begin{align*}
A_\text{rectangle} &= \text{nb total d'espaces} \cdot 1 \ cm^2  \\
&=(\color{green}{3} \cdot \color{fuchsia}{5}) \cdot 1 \\
&= \color{green}{h} \cdot \color{fuchsia}{b}
\end{align*}||
Finalement, par les propriétés de la mutliplication, on peut affirmer que ||Aire_\text{rectangle}=b \cdot h = h \cdot b||. 

​Tout comme dans l'application de la formule de périmètre, la mesure de la base et de la hauteur sont attribuées de façon arbitraire ; en autant que les deux segments considérés soient perpendiculaires.

Afin de changer la décoration de ta chambre, tu décides de peindre l'un des murs d'un magnifique bleu ciel. 
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À combien s'élèvera la facture de ce changement si tu sais que le galon de peinture se vend |39,95$|, qu'il couvre une superficie de |20 \ m^2| et que tu dois appliquer trois couches afin d'obtenir l'effet escompté ? 

**Attention, on doit absolument se procurer le galon au complet lors de l'achat.

1. Identifier les mesures essentielles
||\color{blue}{b = 5,2 \ m}||
||\color{red}{h = 2,3 \ m}||
2. Appliquer la formule
||\begin{align*}
A_\text{rectangle} &= \color{blue}{b} \cdot \color{red}{h} \\
&= \color{blue}{5,2} \cdot \color{red}{2,3} \\
&= 11,96 \ m^2
\end{align*}||
3. Interpréter la réponse
Puisqu'on doit appliquer trois couches, |\text{Superficie à peinturer} = 11,96 \cdot 3 = 35,88 \ m^2|.

Ainsi, |\text{Nb de galons nécessaires} = 35,88 \div 20 \approx 2|
Finalement, |\text{Coût} = 2 \cdot 39,95 = 79,90$|.
Pour les problèmes d'aire, il arrive souvent qu'il y ait plus à faire que le simple calcul lié à l'application de la formule. Dans ce cas, il est important de bien prendre connaissance du contexte du problème. 

Parallélogramme

De par sa construction, les formules de périmètre et d'aire du parallélogramme ressemblent beaucoup à celles du rectangle. 

Périmètre du parallélogramme

||\begin{align*}
P_\text{parallélogramme} &= a+b+c+d \\
&= \color{red}{a}+\color{red}{a} +  \color{blue}{b}+\color{blue}{b} \\
&= 2 \color{red}{a}+ 2\color{blue}{b} \\
&= 2(\color{red}{a}+\color{blue}{b})
\end{align*}||
où |\color{blue}{b}=|mesure des base et |\color{red}{a}=|mesure des deux autres côtés isométriques.
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Comme on peut le voir dans la formule, elle peut s'écrire de trois façons différentes. Peu importe la notation choisie, les résultats obtenues seront les mêmes. ​

Quel est le périmètre de ce parallélogramme ?
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1. Identifier les mesures essentielles
||\color{blue}{b = 4 \ cm}||
||\color{red}{a = 3 \ cm}||
2. Appliquer la formule
||\begin{align*}
P_\text{parallélogramme} &= 2(\color{blue}{b} + \color{red}{a}) \\
&= 2(\color{blue}{4} +\color{red}{3}) \\
&= 14 \ cm 
\end{align*}||
3. Interpréter la réponse
Le périmètre de ce parallélogramme est de |14 \ cm|.

Aire​ du parallélogramme

||A_\text{parallélogramme} = \color{blue}{b} \cdot  h||

où |\color{blue}{b}=| mesure de la base et |h=| mesure de la hauteur

Comme le démontre l'animation suivante, on a simplement besoin des mesures de la base et de la hauteur pour calculer l'aire d'un parallélogramme. ​​

En fait, la formule d'aire du parallélogramme est la même que celle du rectangle. Pour le démontrer, il suffit de prendre une partie du parallélogramme et de la déplacer afin de former un rectangle. 

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​ Ainsi, la mesure des deux autres côtés isométriques n'est pas directement utilisée dans cette formule.​

Quelle est l'aire du parallélogramme suivant ?


1. Identifier les mesures essentielles
||\color{blue}{b = 6 \ cm}||
||h = 4 \ cm||
2. Appliquer la formule
||\begin{align*}
A_\text{parallélogramme} &= \color{blue}{b} \cdot h \\
&= \color{blue}{6} \cdot  4 \\
&= 24 \ cm^2 
\end{align*}||
3. Interpréter la réponse
L'aire de ce parallélogramme est de |24 \ cm^2|.

Trapèze

​Peu importe qu'il soit rectangle, isocèle​ ou sans aucune propriété ​particulière, l'aire d'un trapèze se calcule avec la même formule.​ Par contre, on peut déduire quelques formules plus spécifiques lorsqu'il est question du périmètre. ​​

Périmètre du trapèze

|P_\text{trapèze} = \color{green}{a}+ \color{blue}{b} + \color{red}{B} + \color{fuchsia}{c}|
|P_\text{trapèze rectangle} =\color{green}{a}+ \color{blue}{b} + \color{red}{B} + \color{fuchsia}{c}|

||\begin{align}P_\text{trapèze isocèle}\  \   &= \color{green}{a} + \color{green}{a}+ \color{blue}{b} + \color{red}{B}​\\
 &= 2 \cdot \color{green}{a}+ \color{blue}{b} + \color{red}{B}\\
\end{align}||

où |\color{blue}{b}=|mesure de la petite base, |\color{red}{B}=|mesure de la grande base et |\color{green}{a}, \color{fuchsia}{c} = | mesures des autres côtés.
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Comme on peut le voir dans la formule, les caractéristiques du trapèze avec lequel on travaille peuvent influencer le choix de la formule.

Lequel de ces trapèzes a le plus grand périmètre ?
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1. Identifier les mesures essentielles
||\begin{align}
\text{Trapèze isocèle}\ :\ \color{blue}{b} &= \color{blue}{4 \ cm} \\
\color{red}{B} &= \color{red}{10 \ cm} \\
\color{green}{a} &= \color{green}{5 \ cm}
\end{align}||
||\begin{align}
\text{Trapèze rectangle}\ :\ \color{blue}{b} &= \color{blue}{5 \ cm} \\
\color{red}{B} &= \color{red}{9 \ cm} \\
\color{green}{a} &= \color{green}{3 \ cm} \\
\color{fuchsia}{c} &= \color{fuchsia}{5 \ cm}\end{align}||

2. Appliquer la formule
||\begin{align}
P_\text{trapèze isocèle} &= 2 \cdot \color{green}{a} + \color{blue}{b} + \color{red}{B}​\\
&= 2 \cdot \color{green}{5} + \color{blue}{4} + \color{red}{10}​\\​
&= 24 \ cm \end{align}||

||\begin{align}P_\text{trapèze rectangle} &=\color{green}{a}+ \color{blue}{b} + \color{red}{B} + \color{fuchsia}{c}​ \\
&=\color{green}{3}+ \color{blue}{5} + \color{red}{9} + \color{fuchsia}{5}​ \\​
&= 22 \ cm\end{align}||

3. Interpréter la réponse
Le périmètre du trapèze isocèle est le plus grand.

Aire du trapèze

||A_\text{trapèze} = \frac{(\color{blue}{B}+ \color{green}{b})  \cdot  \color{red}{h}}{2}||
où |\color{blue}{B}=| mesure de la grande base, |\color{green}{b}=| mesure de la petite base et |\color{red}{h}=| mesure de la hauteur.

Tout comme la formule d'aire pour les triangles, celle des trapèzes est également en lien avec la formule d'aire du rectangle.

Une fois de plus, pour démontrer cette formule, on utilisera des transformations géométriques sur certaines parties d'un trapèze afin de former un rectangle. 
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De cette façon, on obtient un rectangle dont la mesure de la longueur est de |\color{blue}{b} + \color{red}{B}|, mais dont la hauteur |h| est la même que pour le trapèze. Finalement, puisque le rectangle est formé de deux trapèzes, on doit diviser le tout par deux. 

Ainsi, il est important de distinguer chacune des mesures impliquées dans l'utilisation de cette formule. Pour faciliter le tout, on peut se référer aux propriétés des trapèzes

Quelle est l'aire du trapèze suivant ?
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1. Identifier les mesures essentielles
||\begin{align}\color{blue}{B}&\color{blue}{= 10 \ cm}\\
\color{green}{b }&\color{green}{=7 \ cm}\\
\color{red}{h}&\color{red}{= 6 \ cm}\end{align}||
2. Appliquer la formule
||\begin{align*}
A_\text{trapèze} &= \displaystyle \frac{(\color{blue}{B}+ \color{green}{b})  \cdot  \color{red}{h}}{2}​\\&= \displaystyle \frac{(\color{blue}{10}+ \color{green}{7})  \cdot  \color{red}{6}}{2}​\\​
&= \frac{102}{2}  \\
&= 51 \ cm^2 
\end{align*}||
3. Interpréter la réponse
L'aire de ce trapèze est de |51 \ cm^2|.

Dans le cas du trapèze, il est important de noter que la hauteur représente toujours la distance entre les deux bases.

Losange

​De par ses propriétés concernant la mesure de ses côtés, le losange partage la même formule que celle du carré. Par contre, son aire est en lien avec des segments qui ne sont pas toujours utiliser dans la représentation des figures planes: les diagonales. 

Périmètre du losange

||\begin{align*}
P_\text{losange} &= \color{green}{a}+\color{blue}{b}+\color{red}{c}+\color{fuchsia}{d} \\
 &=\color{red}{c+c+c+c} \\
&= 4 \cdot \color{red}{c} 
\end{align*}||
où |\color{red}{c}=| mesure d'un côté du losange.
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Ainsi, seule une mesure est nécessaire pour calculer le périmètre d'un losange. 

Pour marquer un point au baseball, un joueur au bâton doit se rendre  à chaque but avant de finalement retourner au marbre. S'il frappe la balle de l'autre côté de la clôture du champ extérieur, il peut alors parcourir cette distance en toute sécurité, puisqu'il s'agit d'un coup de circuit.
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Ainsi, quelle distance doit parcourir un frappeur qui cogne un coup de circuit avant d'atteindre le marbre ?​

1. Identifier les mesures essentielles
||\color{red}{c = 27,43 \ m}||
2. Appliquer la formule
||\begin{align*}
P_\text{losange} &= 4 \cdot \color{red}{c} \\
&= 4 \cdot \color{red}{27,43} \\
&= 109,72 \ m 
\end{align*}||
3. Interpréter la réponse
Le frappeur devra parcourir une distance de |109,72 \ m| avant d'atteintdre le marbre et marquer un point. 


Aire​ du losange

||A_\text{losange} = \frac{\color{blue}{D}  \cdot  \color{red}{d}}{2}||
où |\color{blue}{D}=| mesure de la grande diagonale, et |\color{red}{d}=| mesure de la petite diagonale.

Tout comme la formule d'aire pour les triangles, celle des losanges est également en lien avec la formule d'aire du rectangle.

Démonstration de la formule d'aire du losange
​Pour y arriver, on peut utiliser la rotation tout en faisant référence à l'aire d'un rectangle.
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Au final, on obtient un rectangle dont l'aire est donné par :
||\begin{align}A &= \color{blue}{h} \cdot \color{red}{b}\\
&=\color{blue}{D} \cdot \color{red}{d}\end{align}||.
Comme on peut le voir par l'utilisation des rotations, ce rectangle est formé de deux losanges. Pour relativiser le tout, on divise l'aire du rectangle par |2|.
|\Rightarrow A_\text{losange}=\frac{\color{blue}{D}\cdot \color{red}{d}}{2}|. 

Ainsi, il est important de bien comprendre le concept de diagonale​ pour appliquer adéquatement cette formule d'aire. 

Quelle est l'aire du losange suivant ?​
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1. Identifier les mesures essentielles
||\color{blue}{D = 8 \ cm}||
||\color{red}{d = 6 \ cm}||

2. Appliquer la formule
||\begin{align*}
A_\text{losange} &= \displaystyle \frac{\color{blue}{D}  \cdot  \color{red}{d}}{2}​​\\
&=\displaystyle \frac{\color{blue}{8}  \cdot  \color{red}{6}}{2}​\\​
&= 24 \ cm^2 
\end{align*}||
3. Interpréter la réponse
L'aire de ce losange est de |24​ \ cm^2|.


Cerf-volant

Concernant son périmètre, la même recette s'applique toujours : il suffit d'effectuer la somme des mesures des côtés. Par contre, comme pour le losange, les diagonales du cerf-volant auront un rôle important à jouer dans le calcul de l'aire.

​ Périmètre du cerf-volant

||\begin{align*}
P_\text{cerf-volant} &= \color{red}{a}+\color{blue}{b}+\color{green}{c}+\color{fuchsia}{d} \\​
&= \color{red}{a+a}+\color{blue}{b+b} \\
&= 2 \cdot \color{red}{a} + 2\cdot \color{blue}{b}  \\
&= 2 (\color{red}{a}+\color{blue}{b})
\end{align*}||
où |\color{red}{a}=| mesure d'un côté de la première paire de côtés isométriques et |\color{blue}{b}=| mesure d'un côté de la deuxième paire de côtés homologues consécutifs.​​
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Même si la formule est présentée sous différentes formes, le résultat final sera toujours le même et ce, peu importe la notation utilisée.  

Afin de protéger les rebords de ton nouveau cerf-volant, tu veux acheter des bordures en plastique.  
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Ainsi, quelle sera le coût total de ce projet si ce type de matériau se vend |1,95$/10 \ cm| ?

1. Identifier les mesures essentielles
||\color{red}{a = 37 \ cm}||
||\color{blue}{b=52 \ cm}||

2. Appliquer la formule
||\begin{align*}
P_\text{cerf-volant} &= 2 \cdot \color{red}{a} + 2\cdot \color{blue}{b}​ \\
&= 2 \cdot \color{red}{37} + 2\cdot \color{blue}{52} \\
&= 178 \ cm 
\end{align*}||
3. Interpréter la réponse
Puisqu'il en coûte |1,95$/10 \ cm|, on en déduit que :
||\begin{align*}
\frac{1,95$}{\text{coût total}} &= \frac{10 \ cm}{178 \ cm} \\ 
\\
\text{coût total} &= 1,95 \times 178 \div 10 \\
\\
&= 34,71$ \end{align*}||

Une fois de plus, connaître les propriétés​ de ce polygone a favorisé la compréhension du problème et sa résolution. 

Aire​ du cerf-volant​

||A_\text{cerf-volant} = \frac{\color{blue}{D}  \cdot  \color{red}{d}}{2}||
où |\color{blue}{D}=| mesure de la grande diagonale, et |\color{red}{d}=| mesure de la petite diagonale.

Tout comme la formule d'aire pour les triangles, celle des cerfs-volants est également en lien avec la formule d'aire du rectangle.

​Pour bien comprendre d'où vient cette formule, on peut se référer à la démonstration de la formule d'aire du losange.
Ainsi, il est important de bien comprendre le concept de diagonale​ pour appliquer adéquatement cette formule d'aire. 

Avec les conditions météorologiques changeantes, tu décides d'appliquer une couche de produit hydrofuge sur la toile de ton cerf-volant afin qu'il ne soit pas abîmé par l'eau. 
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En prenant pour acquis que les deux côtés du cerf-volant doivent être traités, quelle quantité de produit devras-tu acheter si |10 \ mL| peuvent couvrir une surface de |1 \ dm^2| ?

1. Identifier les mesures essentielles
||\color{blue}{D = 73 \ cm}||
||\color{red}{d=45,56 \ cm}||
2. Appliquer la formule
||\begin{align*}
A_\text{cerf-volant} &= \frac{\color{blue}{D}  \cdot  \color{red}{d}}{2}​​\\
&= \frac{\color{blue}{73}  \cdot  \color{red}{45,56}}{2}​\\​
&= 1 \ 662,94 \ cm^2 \\
&\approx 16,63 \ dm^2
\end{align*}||
3. Interpréter la réponse
Puisqu'il faut |10 \ mL| pour |1 \ dm^2|, on peut déduire que :
|\text{Quantité totale} = 16,63 \times 10 = 166,3 \ mL| pour un côté du cerf-volant. Comme il faut peinturer les deux faces du cerf-volant, il faut donc |166,3 \ mL \times 2 = 332,6 \ mL| de peinture.


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Les exercices
Les références