Mathématique m1202

Les cercles et les disques

​​​​ Le cercle est une ligne courbe et fermée dont tous les points sont situés à égale distance (rayon) d'un point intérieur appelé centre.

 

Pour s'assurer qu'un cercle respecte cette définition, on utilise souvent un compas pour le construire.​​​

En lien avec le cercle, on peut définir les segments, les angles et les surfaces de la liste suivante : 

Rayon vs diamètre​

​​​Un rayon, généralement noté |r|, est un segment qui relie un point quelconque du cercle avec son centre.

Puisque le cercle est constitué d'une quantité infinie de points, il peut y avoir une infinité de rayons pour un seul cercle.

m1202i14 (final).gif 

Si on décide de prolonger le segment associé au rayon pour aller rejoindre un autre point situé sur le cercle, on obtient un diamètre. 

​​​Un diamètre, généralement noté |d|, est un segment qui relie deux points quelconques du cercle tout en passant par le centre de celui-ci. 

Puisque le cercle est constitué d'une quantité infinie de points, il peut y avoir une infinité de diamètres pour un seul cercle.

m1202i15(final).gif 

Puisque ces deux segments passent par le centre du cercle, il est possible d'établir une proportion entre leur mesure.

||d = 2 r \text{  ou  } r = \frac{d}{2}||
m1202i17(final).gif 

Même si le centre du cercle est au coeur même de sa définition, ce ne sont pas tous les segments d'un cercle qui passent par cet endroit précis.

C​orde

​​

Une corde est un segment qui relie deux points quelconques du cercle sans nécessairement passer par le centre.

Ainsi, on peut déduire qu'un diamètre est une corde, mais pas un rayon. Une fois de plus, la définition même du cercle sous-entend l'existence d'une infinité de cordes.

m1202i16(final).gif 

Angle au centre

​​Un angle au centre, généralement donné par une mesure entre |0^\circ | et |360^\circ|, est formé par deux rayons et son sommet coïncide avec le centre du cercle. 

La notion d'angle au centre amène celles d'a​rc de cercle et de secteur. En effet, l'angle au centre permet de définir une portion du cercle ou l'espace qu'il occupe.

m1202i19(final).gif​​

Circonférence

La circonférence, généralement notée |C|, est le périmètre d'un cercle. 

Dans le cas du cercle, on utilise un autre terme que le périmètre pour désigner son contour étant donné qu'il est pratiquement impossible de le mesurer à l'aide d'une règle à moins d'être capable de «dérouler» le cercle. 

m1202i27(final).gif​​

Pour y arriver, on doit employer une formule​ qui fait intervenir la mesure du rayon ou celle du diamètre.

Arc de cercle

​​Un arc de cercle, généralement noté |\overset{\huge\frown}{\small{ABC}}|, est la portion du cercle délimitée par les points |A| et |C| et passant par le point |B|.

Dans cette définition, il est important de voir qu'il faut trois points pour délimiter un arc de cercle. Dans le cas où on a seulement les deux extrémités, il devient impossible de déterminer avec certitude l'arc de cercle dont il est question.

​​m1202i10.PNG

Sur ce dessin, on peut distinguer deux arcs de cercle :

|\color{red}{\overset{\huge\frown}{\small{DBC}}}| et |\color{blue}{\overset{\huge\frown}{\small{DEC}}}|.

Ici, les points |\color{red}{B}| et |\color{blue}{E}| sont importants. En effet, si on avait simplement identifier l'arc de cercle avec deux lettres |(\overset{\huge\frown}{\small{DC}})|, il aurait été impossible de savoir si on parlait de |\color{red}{\overset{\huge\frown}{\small{DBC}}}| ou de |\color{blue}{\overset{\huge\frown}{\small{DEC}}}|.

Pour déterminer la mesure d'un arc de cercle​, il faut connaitre la mesure de l'a​ngle au centre qui lui est associé. 

Angle inscrit

​​Un angle inscrit est un angle dont le sommet est situé sur le cercle dont les côtés interceptent un arc de cercle.

Pour établir la mesure de cet angle ou celle de l'arc qui est intercepté, on utilisera les relations métriques dans le cercle​

|\angle ABC| est un angle inscrit.

m1202i21(final).gif 

Tangente à un cercle

La tangente à un cercle en un point donné est une droite ​perpendiculaire au rayon du cercle passant par le même point.

Fait à noter, il s'agit ici plutôt d'une propriété de la tangente qu'une définition formelle. Puisque sa réelle définition fait référence à des concepts mathématiques plus abstraits, voyons comment on peut illustrer une telle droite.

m1202i20(final).gif 

Étant donné ​l'ensemble des particularités qui définissent un tel point, il est possible de trouver sa coordonnée dans un plan cartésien. On ne peut pas non plus trouver l'équation de la droite associée à la tangente du cercle.

Pour y arriver, il faut d'abord se familiariser avec le cercle en tant que conique (lieu géométrique) et non en tant que figure géométrique.  

Cercle inscrit

​​Un cercle inscrit dans un polygone est tangent à tous les côtés de celui-ci. 

En d'autres mots, il s'agit d'un cercle qu'on dessine à l'intérieur d'un polygone. Par contre, le cercle doit avoir « un point en commun » avec chacun des côtés du polygone. On peut construire un cercle inscrit à l'aide d'une méthode impliquant la notion de bissectrice et du compas.

m1202i22(final).gif 

Dans certains cas, on peut associer la mesure du rayon avec une mesure significative du polygone. 

​Dans le cas des polygones réguliers​, on peut associer la mesure du rayon du cercle avec celle de l'apothème du polygone régulier. 
m1202i12.PNG 

Toujours dans le cas des polygones réguliers, le rayon joue le rôle d'une médiatrice​ par rapport à la tangente qui correspond également à un côté du polygone régulier. 

Cercle circonscrit

​​Un cercle circonscrit est un cercle qui passe par tous les sommets d'un polygone.

À l'inverse du cercle inscrit, le cercle circonscrit se retrouve à l'extérieur et c'est le polygone qui est à l'intérieur. On peut construire un cercle circonscrit à l'aide d'une méthode impliquant la notion de médiatrice et du compas.

m1202i24(final).gif

Lorsqu'on travaille avec un cercle circonscrit, il est généralement possible d'associer la mesure du rayon avec une mesure qui définit le polygone à l'intérieur du cercle. 

​Dans le cas des polygones réguliers​, le rayon du cercle est associé à la mesure des côtés isométriques des triangles isocèles qui le composent. 
m1202i11.PNG

Disque

​Lorsqu'on fait référence à la région incluse à l'intérieur d'un cercle, on parle d'un disque et non plus d'un cercle. ​​

​Un disque est la région fermée délimitée par un cercle.

Dans un contexte mathématique, le disque est généralement utilisé avec la notion d'aire. Pour bien différencier le cercle du disque, il peut être adéquat de comparer les deux concepts dans une même illustration.

||\text{Cercle} = \text{Ligne courbe}||
||\color{orange}{\text{Disque} = \text{Région à l'intérieur du cercle}}||
m1202i13.PNG 

On peut également s'intéresser à une portion du disque.

Secteur circulaire

​​Un secteur d'un disque est une portion de ce même disque qui est comprise entre deux rayons

En d'autres mots, le secteur d'un disque représente une fraction de l'aire totale du disque. Par ailleurs, la construction d'un secteur circulaire fait en sorte qu'on peut établir une proportion avec la surface du disque pour trouver sa superficie​

m1202i25(final).gif​​

Dans le domaine des statistiques, on utilise les secteurs pour tracer des diagrammes circulaires​.

Les vidéos
Les exercices

Les références