Mathématique m1202

Les cercles et les disques

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​En demeurant dans la catégorie des figures planes, le cercle et le disque seront les seules figures géométriques planes qui seront décrites dans cette fiche. Par ailleurs, les notions qui en découlent sont souvent en lien avec leur position par rapport à ces lieux géométriques. 

​​​​ Le cercle est la ligne courbe et fermée dont tous les points sont situés à égale distance (rayon) d'un point intérieur appelé centre.

 

Pour s'assurer qu'un cercle respecte cette définition, on utilise souvent un compas lorsque l'on veut en construire un.​​​ Selon leur position relative par rapport au cercle ou au disque, on peut définir des segments, des angles ou des surfaces d'une façon plus particulière.

À l'intérieur d'un cercle

Que l'on utilise le cercle comme lieu géométrique précis ou comme zone de dessin, la position relative des segments qu'on y trace à l'intérieur joue un rôle important sur leur définition et leurs propriétés. 

Rayon vs diamètre​

​​​Un rayon, généralement noté |r|, est un segment qui relie un point quelconque du cercle avec son centre.

Puisque le cercle est constitué d'une quantité infinie de points, cela signifie qu'il peut y avoir une infinité de rayons pour un seul cercle.

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Si on décide de prolonger le segment associé au rayon pour aller rejoindre un autre point situé sur le cercle, on obtient un diamètre. 

​​​Un diamètre, généralement noté |d|, est un segment qui relie deux points quelconques du cercle tout en passant par le centre de celui-ci. 

Puisque le cercle est constitué d'une quantité infinie de points, cela signifie qu'il peut y avoir une infinité de diamètres pour un seul cercle.

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Puisque ces deux segments passent par le centre du cercle, il est possible d'établir une proportion entre leurs mesures.

||d = 2 \cdot r| ou |r = \frac{d}{2}||
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Même si le centre du cercle est au coeur même de sa définition, ce ne sont pas tous les segments d'un cercle qui passe par cet endroit précis.

C​orde

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Une corde est un segment qui relie deux points quelconques du cercle sans nécessairement passer par le centre.

Ainsi, on peut déduire qu'un diamètre est une corde, mais pas un rayon. Une fois de plus, la définition même du cercle sous-entend l'existence d'une infinité de cordes à l'intérieur d'un même cercle.

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Angle au centre

​​Un angle au centre, généralement donné par une mesure entre |0^\circ | et |360^\circ|, est formé par deux rayons et son sommet coïncide avec le centre du cercle. 

Avec cet angle au centre, on fait apparaître la notion d'a​rc de cercle et de secteur. En effet, l'angle au centre permet de définir une portion du cercle ou de l'espace qu'il occupe.

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Sur le cercle

Concrètement, cette section mettra en évidence les différentes notions en lien avec la ligne courbe qui est utilisée pour dessiner un cercle. 

Circonférence

La circonférence, généralement notée |C|, est le terme utilisé pour définir le périmètre d'un cercle. 

Dans le cas du cercle, on utilise un autre terme que le périmètre pour désigner son contour étant donné qu'il est pratiquement impossible à l'aide d'une règle à moins d'être capable de «dérouler» le cercle. 

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Pour y arriver, on doit s'en remettre à une formule​ qui met en relation les mesures du rayon ou du diamètre. 

Arc de cercle

​​Un arc de cercle, généralement noté |\overset{\huge\frown}{\small{ABC}}|, est la portion du cercle délimitée par les points |A| et |C| et passant par le point |B|.

Dans cette définition, il est important de voir qu'il faut trois points pour délimiter un arc de cercle. Dans le cas où on a seulement les deux extrémités, il devient impossible de déterminer avec certitude l'arc de cercle dont il est question.

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Sur ce dessin, on peut distinguer deux arcs de cercle:

|\color{red}{\overset{\huge\frown}{\small{DBC}}}| et |\color{blue}{\overset{\huge\frown}{\small{DEC}}}|.

Ici, les points |\color{red}{B}| et |\color{blue}{C}| sont importants. En effet, si on avait simplement identifier l'arc de cercle avec deux lettres |(\overset{\huge\frown}{\small{DC}})|, il aurait été impossible de savoir si on parlait de |\color{red}{\overset{\huge\frown}{\small{DBC}}}| ou |\color{blue}{\overset{\huge\frown}{\small{DEC}}}|.

Pour déterminer la mesure d'un arc de cercle​, il faut également connaître la mesure de l'a​ngle au centre qui lui est associé. 

Angle inscrit

​​Un angle inscrit est un angle dont le sommet est situé sur le cercle dont les côtés interceptent un arc de cercle.

Pour établir la mesure de cet angle ou celle en lien avec l'arc qui est intercepté, on utilisera les relations métriques dans le cercle​

|\angle ABC| est un angle inscrit.

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Tangente d'un cercle

La tangente à un cercle en un point donné est une droite ​perpendiculaire au rayon du cercle passant par le même point.

Fait à noter, il s'agit ici plutôt d'une propriété de la tangente qu'une définition formelle. Puisque que sa réelle définition fait référence à des concepts mathématiques plus abstraits, voyont comment on peut illustrer une telle droite.

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Étant donné ​l'ensemble des particularités qui définissent un tel point, il est possible de trouver sa coordonnée dans un plan cartésien ainsi que l'équation de la droite associée à la tangente du cercle

Pour y arriver, il faut d'abord se familiariser avec le cercle en tant que conique (lieu géométrique) et non en tant que figure géométrique.  

Cercle inscrit

​​Un cercle inscrit dans un polygone est tangent à tous les côtés de celui-ci. 

En d'autres mots, il s'agit d'un cercle que l'on dessine à l'intérieur d'un polygone. Par contre, le cercle doit avoir « un point en commun » avec chacun des côtés du polygone.

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En fonction des constructions associées avec un cercle inscrit, on peut parfois associer la mesure du rayon avec une mesure significative du polygone. 

​Dans le cas des polygones réguliers​, on peut associer la mesure du rayon du cercle avec celle de l'apothème du polygone régulier. 
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Toujours dans le cas des polygones réguliers, le rayon joue le rôle d'une médiatrice​ par rapport à la tangente qui correspond également à un côté du polygone régulier. 


Cercle circonscrit

​​Un cercle circonscrit est un cerle qui passe par tous les sommets d'un polygone.

À l'inverse du cercle inscrit, le cercle circonscrit se retrouve à l'extérieur et c'est à l'intérieur de celui-ci que l'on retrouve un polygone. 

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Lorsqu'on travaille avec un cercle circonscrit, il est généralement possible d'associer la mesure du rayon avec une mesure qui définit le polygone à l'intérieur du cercle. 

​Dans le cas des polygones réguliers​, le rayon du cercle est associé à la mesure des triangles isocèles qui le composent. 
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À l'intérieur d'un disque

​Lorsqu'on fait référence à la région incluse à l'intérieur d'un cercle, on fera alors référence à un disque et non plus à un cercle. ​​

​Un disque est la région fermée délimitée par un cercle
Dans un contexte mathématique, le disque sera généralement utilisé avec la notion d'aire. Pour bien différencier le cercle du disque, il peut être adéquat de comparer les deux concepts dans une même illustration. 

||\text{Cercle} = \text{Ligne courbe}||
||\color{orange}{\text{Disque} = \text{Région à l'intérieur du cercle}}||
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Par contre, on peut également s'intéresser à une portion du disque. 

Secteur circulaire

​​Un secteur d'un disque est une portion de ce même disque qui est comprise entre deux rayons

En d'autres mots, le secteur d'un disque représente une fraction de l'aire totale du disque. Par ailleurs, la construction d'un secteur circulaire fait en sorte qu'on peut établir une proportion avec la surface du disque pour trouver sa superficie​

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Par ailleurs, cette notion de secteur est également utilisée dans d'autres sphères des mathématiques.

Dans le domaine des statistiques, on utilise les secteurs pour tracer des diagrammes circulaires​.

Les vidéos
Les exercices

Les références