Mathématique m1204

Les arcs des cercles et les secteurs des disques

​​​​​​​​Les arcs de cercle et les secteurs sont des sections d'un cercle qui sont délimitées par un angle au centre. Un angle au centre permet de former:

Comme l'angle au centre, l'arc de cercle et le secteur d'un disque correspondent à la même portion d'un cercle, il est possible de déterminer une de ces grandeurs à partir des proportions suivantes:

||\frac{\text{angle au centre}}{360^{o}}=\frac{\text{arc de cercle}}{\text{circonférence}}=\frac{\text{aire du secteur}}{\text{aire du disque}}||

L'arc de cercle

Un arc de cercle représente une partie de la circonférence du cercle et il est formé par la rencontre de deux rayons sur la circonférence.

Si on compare le cercle à une roue de bicyclette, l'arc de cercle correspond à une section de la roue comprise entre deux rayons.

 

Source

 

L'arc de cercle représente une portion de la circonférence au même titre que l'angle au centre correspond à une section d'un tour complet. Puisque cette portion correspond au même rapport, on peut obtenir la longueur de l'arc de cercle en utilisant une proportion. On l'obtient en effectuant le produit croisé selon le rapport suivant:

||\frac{\text{angle au centre}}{360^{o}}=\frac{\text{arc de cercle}}{\text{circonférence}}||


Calculons la mesure de l'arc de cercle |\overset{\huge\frown}{\small{AB}}| inscrit par un angle au centre de |\small 120°| et dont le rayon vaut |\small 3\ \text{cm}|.

||\begin{align} \frac{\text{angle au centre}}{360^{o}}&=\frac{\text{arc de cercle}}{\text{circonférence}}\\\\
\frac{120^o}{360^o}&=\frac{\text{arc de cercle}}{2\cdot\pi\cdot 3}\\\\
\frac{120^o}{360^o}&=\frac{\text{arc de cercle}}{18,84\ \text{cm}}\\\\
\Rightarrow \frac{120^o\cdot18,84}{360^o}&= 6,28\ \text{cm}\end{align}||
Ainsi, |\overset{\huge\frown}{\small{AB}}| mesure |6,28\ \text{cm}|.


Si un arc de cercle |\overset{\huge\frown}{\small{CD}}| mesure |\small 15\ \text{cm}| et que la circonférence vaut |\small 120\ \text{cm}, quelle est la mesure de l'angle au centre qui délimite cet arc de cercle?
 

||\begin{align}\frac{\text{angle au centre}}{360^o}&=\frac{\text{arc de cercle}}{\text{circonférence}}\\\\
\frac{\text{angle au centre}}{360^o}&=\frac{15\ \text{cm}}{120\ \text{cm}}\\\
\Rightarrow \frac{15\ \text{cm}\cdot 360^o}{120\ \text{cm}}&= 45^o \end{align}||
Ainsi, l'angle au centre vaut |45^o|


Dans un cercle, le rapport des mesures de deux angles au centre est égal au rapport des mesures des arcs interceptés entre leurs côtés.
Rac2 

||\frac{m\angle{AOB}}{m\angle{COD}} = \frac{m\overset{\huge\frown}{\small{AB}}}{m\overset{\huge\frown}{\small{CD}}}||
Ainsi, 
||\frac{90^0}{40^0} = \frac{180\ \text{cm}}{80\ \text{cm}}=2,25||

Le secteur de disque

Le secteur de disque représente une partie du disque ou une section de l'aire totale de celui-ci. 

Il est possible de calculer l'aire d'un secteur à partir de l'angle au centre qui le forme ou encore de son arc de cercle.



Pour trouver la superficie d'un secteur d'un disque, on peut utiliser les rapports suivants:

||\frac{\text{angle au centre}}{360^{o}}=\frac{\text{aire du secteur}}{\text{aire du disque}}||


Quelle est l'aire de cette pointe de tarte si son diamètre est de |\small 25\ \text{cm}| et que l'angle au centre correspond à |60°| ?
1.
Calcul du rayon
||\begin{align}  r&=\displaystyle\frac{\text{diamètre}}{2}\\
&=\frac{25}{2}\\
&=12,5\ \text{cm}\end{align}||
2.Utilisation du rapport
||\begin{align} \frac{60^o}{360^o}&= \frac{\text{aire du secteur}}{\pi\cdot 12,5^2}\\\\
\Rightarrow \frac{60^o\cdot 490,87}{360^o}&=81,81\ \text{cm}^2\end{align}||


Si un secteur de disque vaut 60 cm2, quelle sera la longueur de son arc de cercle |\overset{\huge\frown}{\small{AB}}| si le rayon du cercle vaut |\small 6\ \text{cm}?

 
1.Utiliser le bon rapport
||\begin{align} \frac{\text{arc de cercle}}{\text{circonférence}}&=\frac{\text{aire du secteur}}{\text{aire du cercle}}\\\\
\frac{\text{arc de cercle}}{2\cdot\pi\cdot \text{rayon}}&=\frac{\text{aire du secteur}}{\pi\cdot \text{rayon}^2}\\\\
\frac{\text{arc de cercle}}{2\cdot\pi\cdot 6}&=\frac{60\ \text{cm}^2}{\pi\cdot 6^2}\\\\
\frac{\text{arc de cercle}}{37,70\ \text{cm}}&=\frac{60\ \text{cm}^2}{113,09\ \text{cm}^2}\\\\
\Rightarrow \frac{37,7\cdot 60}{113,09}&= 20\ \text{cm}\end{align}||

Anisi, |\overset{\huge\frown}{\small{AB}}| vaut |20\ \text{cm}|.


Dans un disque, le rapport des aires de deux secteurs est égal au rapport des mesures des angles au centre.

||\frac{\text{Aire du secteur } AOB}{\text{Aire du secteur }COD} = \frac{m\angle AOB}{m\angle COD}||​
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