Mathématique m1254

La transformation de la fonction rationnelle de la forme canonique et de la forme P/Q

Il arrive fréquemment que l'on passe d'une forme d'équation à l'autre avec une fonction rationnelle.

On appelle une fonction rationnelle de la forme |P/Q|, une fonction où le numérateur et le dénominateur sont tous deux des polynômes.

Ici, les polynômes |P| et |Q| sont des fonctions linéaires : ||f(x)= \frac{P}{Q} = \frac{ax+b}{cx+d}.||Remarques:
Lorsque les deux polynômes sont des fonctions linéaires, cette forme portera le nom de forme générale ou de forme homographique de la fonction rationnelle.
Il est nécessaire qu'au moins l'un des deux paramètres |a| et |c| ne soit pas nul.

Passage de la forme canonique à la forme P/Q

On veut passer de la forme canonique |\displaystyle \frac{a}{b(x-h)}+k| vers la forme |\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}|.

1. On met les deux fractions sur le même dénominateur.

2. On additionne les deux numérateurs.


Passage de la forme P/Q à la forme canonique

On veut passer de la forme |\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}| vers la forme canonique |\displaystyle \frac{a}{b(x-h)}+k|.
Il faut faire la division entre le numérateur et le dénominateur.

 
On veut transformer la fonction rationnelle suivante :

 
Il faut effectuer la division.
 
Le 3 correspond au reste.

Nous obtenons alors :


En faisant une petite mise en évidence au dénominateur on obtient :

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