Mathématique m1262

Les figures semblables, isométriques et équivalentes

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Lorsque l'on compare deux figures géométriques, il arrive que l'on remarque des éléments particuliers.

Figures isométriques

​Selon l'étymologie de ce mot, « iso » veut dire « égale » et « métrique » fait référence à « mesure ». Ainsi, on peut en déduire la définition suivante:

Les figures isométriques ont des mesures de côtés et d'angles homologues équivalentes. Généralement, on peut associer deux figures isométriques avec des transformations isométriques (la translation, la réflexion et la rotation​).

Concrètement, on peut illustrer le tout de la façon suivante:

La figure initiale et la figure image sont isométriques puisque la figure image est le résultat d'une translation de la figure initiale.
m1262i5.PNG

En analysant chacune des mesures d'angles et de côtés homologues, on voit bien qu'elles sont identiques en tout point. Donc, ces deux figures sont isométriques.

Figures semblables

​Lorsque des figures sont semblables, elles ont toujours la même allure, mais avec des proportions différentes.​

Des figures semblables sont des figures qui ont exactement la même forme, dont les mesures d'angles homologues sont équivalentes, mais avec des mesures de côtés homologues qui partagent la même proportionnalité.

Plus précisément, il s'agit d'une figure qui est agrandie ou réduite par la biais d'une homothétie.

Une fois de plus, il est important de bien analyser les différentes mesures de côtés et d'angles homologues afin de bien comprendre les propriétés des figures semblables.

Selon l'homothétie suivante, on voit que les figures sont semblables, mais elles ne sont pas isométriques.
m1262i6.PNG​​
Dans cet exemple, les mesures d'angles homologues sont toutes équivalentes. Concernant les mesures de côtés homologues, ils ont tous le même rapport:
||\begin{align} \text{Rapport} &= \color{red}{\frac{m \overline{A'C'}}{m\overline{AC}}} &&=&& \color{blue}{\frac{m \overline{A'B'}}{m\overline{AB}}} &&=&& \color{green}{\frac{m \overline{B'C'}}{m\overline{BC}}}\\\\
&=​ \color{red}{\frac{10}{5}} &&=&& \color{blue}{\frac{8}{4}} &&=&& \color{green}{\frac{6}{3}} \\\\
&= 2 \end{align}||​​​

Ce rapport, souvent noté |\small k|, est en fait le rapport de similitude des deux figures.

Dans l'exemple précédent, on déduisait que |\small k=2|.

En contexte mathématique, il peut être demandé de trouver une mesure manquante sachant que deux figures sont semblables.

Soit les rectangles semblables suivants.
m1262i20.png
Détermine la mesure du côté |A'B'|.

Comme les rectangles sont semblables, les rapport entre les côtés homologues ont la même valeur. 

1. Construction de la proportion avec les côtés homologues

||\frac{m\overline{AD}}{m\overline{A'D'}}=\frac{m\overline{AB}}{m\overline{A'B'}}||

2. Substitution des mesures connues

||\frac{4}{6}=\frac{2}{\color{red}?}||

3. Produit croisé pour trouver la valeur recherchée

||\begin{align} \Rightarrow \color{red}{?}&=6\times 2 \div 4 \\ &=3\end{align}||

La mesure du côté |A'B'| est donc de |3\:\text{cm}|.

Figures équivalentes

​Lorsqu'on utilise le terme « équivalent » pour qualifier des figures, cela fait référence à l'aire de ces dernières.

Des figures équivalentes sont des figures ayant exactement la même aire.

Fait à noter, la définition ne fait aucune mention de proportion ou d'allure des figures. En effet, deux figures équivalentes peuvent être de deux natures complètement différentes. 

Dans un cadre mathématique, cette notion est souvent en lien avec l'algèbre et les mesures manquantes.

Un trapèze avec une aire de |\small 30\:\text{cm}^2| est équivalent à un rectangle qui a une base de |\small 5\:\text{cm}|.
m1262i21.png 
Selon ces informations, détermine la mesure de la hauteur du rectangle.

1. Identifier la formule d'aire à utiliser

Puisque les deux figures sont équivalentes, on sait que le rectangle a une aire de |\small 30\:\text{cm}^2|​. Ainsi,
||A=b \cdot h ||

2. Substitution des mesures connues

||\begin{align} A&= b \cdot h \\
30 &= 5 \cdot h \end{align}||

3. Isoler la variable

||\begin{align} \frac{30}{\color{red}{5}} &= \frac{5 \cdot h}{\color{red}{5}} \\
6 &= h \end{align}||​​

La hauteur du rectangle est donc de |\small 6\:\text{cm}|.

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