Mathématique m1269

Les rapports de similitude, d'aire et de volume (k, k², k³)

​​​​​​​​​​​​En ce qui concerne le concept de proportionnalité, il peut s'étendre à plus que simplement des mesures de segment. En d'autres mots, il est possible de dégager des relations de proportionnalité entre des mesures de segment, des mesures d'aire et des mesures de volume.

Rapport de similitude (k ou k1)

Le rapport de similitude, généralement noté |k|, est le ​ rapport entre les mesures de segments homologues (côtés, hauteurs, rayons, périmètres, etc.) de figures ou de solides semblables.

Tout comme plusieurs concepts en mathématique, il est possible de trouver la valeur numérique de ce rapport à l'aide d'une formule.

​|​k= \frac{\text{longueur du segment dans la figure ou le solide image}}{\text{longueur du segment homologue dans la figure ou le solide initial}}|

|\tiny \bullet| Si |\small 0<k<1|, la figure initiale correspond à la plus grande figure.

|\tiny \bullet| Si |\small k>1|, la figure initiale correspond à la plus petite figure.

Bref, il s'agit de faire la division entre les mesures des segments homologues.

Quel est le rapport de similitude (|k|) des figures semblables suivantes?
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Le rapport des mesures des petites bases : ||\displaystyle k=\frac{4 \ \mathrm{cm}}{2 \ \mathrm{cm}}= 2||

Le rapport des mesures des hauteurs : ||\displaystyle k=\frac{6 \ \mathrm{cm}}{3 \ \mathrm{cm}}= 2||

Le rapport des mesures des côtés obliques : ||\displaystyle k=\frac{7 \ \mathrm{cm}}{3,5 \ \mathrm{cm}}= 2||

Le rapport des mesures des grandes bases: ||\displaystyle k = \frac{8 \ \mathrm{cm}}{ 4 \ \mathrm{cm}}=2||

Ainsi, on en conclut que |k=2|.

On remarque que le rapport des segments homologues de la figure image et de la figure initiale est toujours équivalent, peu importe la paire de segments homologues choisie. 

Au niveau du​​ rapport des aires, la méthode de calcul est assez similaire.

Rapport des aires (k2)

Le rapport des aires, généralement noté |k^2|, est la proportion construite avec deux aires de même nature (aires totales, aires latérales ou aires des bases) entre des figures ou des solides semblables.

Tout comme son nom l'indique, ce rapport peut se calculer à l'aider d'une division.

| k^2=\frac{\text{mesure de l'aire de la figure ou du solide image}}{\text{mesure de l'aire de la figure ou du solide initial}}|.

|\tiny \bullet| Si |\small 0<k^2<1|, la figure initiale correspond à la plus grande figure.

|\tiny \bullet| Si |\small k^2>1|, la figure initiale correspond à la plus petite figure.

Par contre, il peut arriver que la mesure de l'aire des figures ne soit pas directement donnée.

Quel est le rapport des aires (|k^2|) des figures semblables suivantes?
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​​
1) Calculer l'aire de chaque figure
||\begin{align} \color{orange}{A_\text{initiale}} &=\frac{(B+b)\cdot h}{2}&&\color{green}{A_\text{image}}&&=\frac{(B+b)\cdot h}{2}\\\\
&=\frac{4+2)\cdot 3}{2}&&&&=\frac{(8+4)\cdot 6}{2}\\\\
&=\color{orange}{9 \ \mathrm{cm}^{2}}&&&&​=\color{green}{36 \ \mathrm{cm}^{2}}\end{align}||

2) Appliquer la formule
||\begin{align}k^2&= \frac{\color{green}{A_\text{image}}}{\color{orange}{A_\text{initiale}}} \\\\
&=\frac{\color{green}{36}} {\color{orange}{9}}\\\\
&= 4\end{align}||

Donc, |k^2 = 4|.

Concrètement, cela signifie que l'aire de la figure image est |4| fois celle de la figure initiale.

Rapport des volumes (k3)

Le rapport des volumes, généralement noté |k^3|, est la proportion entre les volumes de deux solides semblables.

Une fois de plus, la formule suivante est idéale pour déterminer cette proportion.

|k^3=\frac{\text{mesure du volume du solide image}}{\text{mesure du volume du solide initial}}|

|\tiny \bullet| Si |\small 0<k^3<1|, le solide initial correspond au plus grand solide.

|\tiny \bullet| Si |\small k^3>1|, le solide initial correspond au plus petit solide.

Avant d'appliquer la formule, il faut s'assurer d'avoir toutes les mesures de volume nécessaires.

Quel est le rapport des volumes (|k^3|) des solides suivants?
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1) Calculer le volume de chaque solide
||\begin{align}\color{darkblue}{V_\text{initial}}&= A_b \cdot h && \color{blue}{V_\text{image}}&&= A_b \cdot h \\
&= (10 \cdot 4) \cdot 6 &&&&= (5 \cdot 2) \cdot 3\\
&= \color{darkblue}{240 \ \mathrm{cm}^3} &&&&= \color{blue}{30 \ \mathrm{cm}^3}\end{align}||

2) Appliquer la formule
||\begin{align} k^3 &= \frac{\color{blue}{V_\text{image}}}{\color{darkblue}{V_\text{initial}}} \\\\
&=\frac{\color{blue}{30}}{\color{darkblue}{240}} \\\\
&= \frac{1}{8}\end{align}||​

​Finalement, on peut conclure que le solide image a un volume qui est équivalent au |\frac{1}{8}| de celui du solide initial.

Relations arithmétiques entre les trois rapports

Une fois que la valeur d'un des trois rapports est trouvée, il est possible de déduire la valeur des deux autres. Pour ce faire, on doit utiliser les propriétés des exposants et des racines.

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Pour assurer une utilisation optimale et juste du tableau précédent, il faut absolument suivre le sens des flèches. Par exemple, pour passer de |k^3 \rightarrow k^2|, il faut plutôt suivre le chemin suivant:
|| k^3 \rightarrow k^1 \rightarrow k^2||
étant donnée qu'il n'y a aucune flèche qui aille directement de |k^3| vers |k^2|. Afin de bien illustrer le tout, voici quelques exemples d'applications concrètes.

La recherche de mesures manquantes avec les rapports de similitude, des aires et des volumes

Voici quelques exemples de l'utilisation des rapports de similitude, des aires et des volumes pour la recherche de mesures manquantes. Pour résoudre ce type de problèmes, la méthode suivante sera privilégiée.

1. Identifier le rapport qu'il est possible de calculer et trouver sa valeur.

2. Utiliser ce rapport pour déduire la valeur des autres rapports, au besoin.

3. Utiliser le rapport approprié et un produit croisé pour rechercher la mesure manquante.

Pour les exemples qui suivent, la représentation initiale sera toujours celle de gauche alors que la finale sera associée à celle de droite. 

​Lorsqu'il n'y a aucune information précise sur l'ordre des représentations, on peut déterminer aléatoirement laquelle sera la représentation initiale et laquelle sera la représentation image.

Avec |k^1| seulement

Trouve la mesure manquante dans cette paire de prismes semblables à base hexagonale.

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1. Identifier le rapport qu'il est possible de calculer et trouver sa valeur.
Puisqu'on connaît la mesure d'une paire de côtés homologues, on peut déterminer la valeur de |k^1|:
||\begin{align} k^1& = {\small\frac{\text{mesure du segment dans le solide image}}{\text{mesure du segment homologue dans le solide initial}}}\\\\
&=\frac{6}{2}\\\\
&=3\end{align}||
2. Utiliser ce rapport pour déduire la valeur des autres rapports, au besoin.
Puisque la mesure recherchée est une mesure de segment, il n'est pas nécessaire de déduire la valeur des autres rapports.

3. Utiliser le rapport approprié et un produit croisé pour rechercher la mesure manquante.
||\begin{align} k^1 &={\small\frac{\text{hauteur image}}{\text{hauteur initiale}}}\\\\
3&=\frac{h}{3,2} \\\\
\frac{3}{\color{red}{1}}&=\frac{h}{3,2} && \left(\text{puisque}\ 3 = \frac{3}{\color{red}{1}}\right)\\\\
\Rightarrow h&=3\cdot 3,2 \div 1\\
&=9,6\:\text{cm}\end{align}||
La hauteur du solide image est donc de |\small 9,6\:\text{cm}|.

Avec |k^1| et |k^2|

Trouve la mesure manquante dans la paire de cônes sembables suivante.
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1. Identifier le rapport qu'il est possible de calculer et trouver sa valeur.
Puisqu'on connaît la mesure d'aire pour chacun des cônes (l'aire des bases), on peut calculer la valeur du rapport |\small k^2|:
||\begin{align} k^2&={\small\frac{\text{A_b du solide image}}{\text{A_b du solide initial}}}\\\\
&=\frac{36\pi}{64\pi}\\\\
&=\frac{9}{16}\end{align}||
2. Utiliser ce rapport pour déduire la valeur des autres rapports, au besoin.
Puisque la mesure recherchée est une mesure de segment, on doit déduire la valeur du rapport de similitude |k^1|: ||\begin{align}k^1&=\sqrt{k^2}\\
&=\sqrt{\frac{9}{16}}\\
&=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}\\
&=\frac{3}{4}\end{align}||

3. Utiliser le rapport approprié pour rechercher la mesure manquante.
||\begin{align} k^1&={\small\frac{\text{apothème image}}{\text{apothème initial}}}\\\\
\frac{3}{4}&=\frac{7,8}{a}\\\\
 \Rightarrow a&=4\cdot 7,8\div 3\\\\
&=10,4\:\text{mm}\end{align}||
La mesure de l'apothème du cône initial est de |\small 10,4\:\text{mm}|


Avec |k^1| et |k^3|

Trouve le volume du cylindre image sachant que les deux cylindres sont semblables.
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1. Identifier le rapport qu'il est possible de calculer et trouver sa valeur.
À première vue, on pourrait croire qu'il est impossible de construire aucun des trois rapports. 

Cependant, à l'aide de l'aire de la base du cylindre image, on peut retrouver la mesure de son rayon:
||\begin{align}\color{blue}{A_{Base}}&=\pi r^2\\
25\pi &= \pi r^2\\
25 &= r^2\\
\color{blue}{5}&=r\end{align}||
Comme on connaît la mesure du rayon des bases des deux cylindres, on peut calculer |\small k^1|:
||\begin{align} k^1&= {\small \frac{\color{blue}{\text{mesure du segment dans le solide image}}}{\color{purple}{\text{mesure du segment homologue dans le solide initial}}}}\\\\
&=\frac{\color{blue}{5}}{\color{purple}{2}}\end{align}||

2. Utiliser ce rapport pour déduire la valeur des autres rapports, au besoin.
Comme on veut calculer le volume du solide image et que l'on connaît le volume du solide initial, on doit déduire la valeur du rapport des volumes |\small k^3|:
||\begin{align}k^3&=(k^1)^3\\
&=\left(\frac{5}{2}\right)^3\\\\
&=\frac{5^3}{2^3}\\\\
&=\frac{125}{8}\end{align}||
3. Utiliser le rapport approprié pour rechercher la mesure manquante.
||\begin{align} k^3&={\small \frac{\text{Volume image}}{\text{Volume initial}}}\\\\
\frac{125}{8}&=\frac{\color{red}{?}}{20\pi}\\\\\
\Rightarrow \color{red}{?}&=20\pi \cdot 125\div 8\\
&=312,5\pi\:\text{m}^3\end{align}||
Le volume du cylindre image est donc de |\small 312,5\pi\:\text{m}^3|.

Avec |k^2| et |k^3|

Trouve la mesure de l'aire latérale sachant que les pyramides à base pentagonale suivantes sont semblables.
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1. Identifier le rapport qu'il est possible de calculer et trouver sa valeur.
Puisqu'on connaît la valeur du volume des deux solides, on peut calculer le rapport |\small k^3|:
||\begin{align}k^3&={\small \frac{\text{volume du solide image}}{\text{volume du solide initial}}}\\\\
&=\frac{198,288}{918}\\\\
&=0,216\end{align}||

2. Utiliser ce rapport pour déduire la valeur des autres rapports, au besoin.
Puisque c'est une mesure d'aire que l'on cherche, on doit travailler avec |\small k^2|:
||\begin{align}\color{blue}{k^1}&=\sqrt[3]{k^3}\\
&=\sqrt[3]{0,216} \\
&=\color{blue}{0,6}\\\\
\Rightarrow k^2 &= (\color{blue}{k^1})^2 \\
&=(\color{blue}{0,6})^2\\
&=0,36\end{align}||
On a donc |\small k^2=0,36|.

3. Utiliser le rapport approprié pour rechercher la mesure manquante.
Comme on doit passer de l'aire du grand solide à l'aire du petit solide et que la valeur de |\small k^2| est comprise entre |\small 0| et |\small 1|, on utilisera la multiplication:
||\begin{align}\color{red}{?}&=21,35 \cdot k^2\\
&=21,35 \cdot 0,36\\
&=7,686\:\text{dm}^2\end{align}||
L'aire latérale du solide image est donc de |\small 7,686\:\text{dm}^2|.

Comme on peut le constater, les calculs faits à l'étape 3 sont différents de ceux présentés lors des exemples précédents. Voici le raisonnement qui explique cette démarche alternative.

​Pour l'étape 3, il est possible de simplement multiplier ou diviser la mesure correspondante par la valeur du rapport approprié. Pour savoir si on doit multiplier ou diviser, on peut se fier au tableau suivant.



​|{\Large{\Delta}}\rightarrow {\small{\Delta}}|
​|{\small{\Delta}}\rightarrow \Large{\Delta}|
​|0\le k<1|
​|\Large \times|
​|\Large \div|
​|k>1|​|\Large \div|
​|\Large \times|
​Ce tableau est aussi valide pour |\small k^2| et |\small k^3|.

Exemple d'application impliquant l'algèbre

Une papeterie produit deux formats de couverture de livre. En terme de mesure, la grande a une épaisseur qui dépasse de |\small 3\:\text{cm}| celle de la petite.
 
Quelle est l'épaisseur de la petite couverture sachant que le rapport des aires totales des deux couvertures est de |\small \displaystyle \frac{25}{64}|?

1. Identifier le rapport qu'il est possible de calculer et trouver sa valeur.
Dans le cas présent, la valeur de |k^2| est fournie:
||k^2 = \frac{25}{64}||
2. Utiliser ce rapport pour déduire la valeur des autres rapports, au besoin.​
Puisque la mesure de l'épaisseur est associée à une mesure de segment, on doit trouver le rapport de similitude |\small k|.

Selon le schéma des relations​ présenté plus haut:
||\begin{align} k &= \sqrt{k^2} \\
 &= \sqrt{\frac{25}{64}} \\\\
&= \frac{5}{8}\end{align}||
3. Utiliser le rapport approprié pour rechercher la mesure manquante.​
||\begin{align}k &= {\small \frac{\text{mesure du segment du solide image}}{\text{mesure du segment du solide initial}}}\\\\
\frac{5}{8} &= \frac{x}{x+3} \\\\
5 \cdot (x+3) &= x \cdot 8 \\
5x + 15 &= 8x \\
15 &= 3x \\
 5 &= x \end{align}||
Puisqu'on a posé « |x =| épaisseur de la petite couverture », alors on peut déduire que la petite couverture a une épaisseur de |5\:\text{cm}|.
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