Mathématique m1286

Les relations métriques dans le triangle rectangle

​​​​La hauteur |h| issue de l'angle droit dans un triangle rectangle détermine deux autres triangles rectangles. De par la condition minimale A-A, on peut déduire que ces trois triangles sont semblables entre eux. 

​À partir des côtés homologues de ces triangles rectangles, il est possible d'établir plusieurs proportions. Ces proportions permettent d'énoncer trois relations métriques qui facilitent la recherche de mesures manquantes dans un triangle rectangle.

Le triangle suivant sera utilisé afin de démontrer les différents théorèmes.
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Théorème de la cathète

Dans un triangle rectangle, la mesure de chaque côté de l’angle droit est la moyenne proportionnelle entre la mesure de sa projection sur l’hypoténuse et celle de l’hypoténuse entière.

Puisque les triangles ABC, ACD et BCD sont semblables, on peut déterminer la relation métrique suivante:

||\begin{align} 1)  \frac{m}{a}&=\frac{a}{c} & &\text{ou}& a^{2} &= m\cdot c\\\\​
2)  \frac{n}{b}&=\frac{b}{c}&&\text{ou}&b^{2} &= n\cdot c\end{align}||

 

Déterminer la mesure de |\overline{BC}| dans le triangle suivant:
 
Ainsi,
||\begin{align}a^2 &= m \cdot c \\
a^2 &= 4\cdot 16\\
a^2 &= 64\\
a &= 8\end{align}||
La mesure du côté |\overline{BC}| est de 8 cm. 

Théorème de la hauteur relative à l'hypoténuse

Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur issue du sommet de l’angle droit est moyenne proportionnelle entre les mesures des deux segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse.

Puisque les triangles ABC, ADB et BDC sont semblables, on peut déterminer la relation métrique suivante:

|| \frac{m}{h}=\frac{h}{n} \ \text{ou} \ h^2 = m\cdot n||

 

Déterminez la mesure de |\overline{BD}| dans le triangle suivant:
 
Ainsi,
||\begin{align} h^2 &= m\cdot n\\
6^2 &= 12\cdot m\\
36 &= 12\cdot m\\
3 &= m\end{align}||
La mesure du côté |\overline{BD}| est de 3 cm.

Théorème du produit des cathètes

Dans le triangle rectangle, le produit des mesures de l’hypoténuse et de la hauteur correspondante égale le produit des mesures des côtés de l’angle droit.

Puisque les triangles ABC, ADB et BDC sont semblables, on peut déterminer la relation métrique suivante:

||c\cdot h = a\cdot b \ \text{ou} \ h = \frac{ab}{c}||

 

Déterminez la mesure de |\overline{CD}| dans le triangle suivant:
 
Selon la relation de Pythagore, on peut déterminer la mesure de |\overline{BC}|:
||\begin{align} a^2 + b^2 &= c^2\\
a^2 + 12^2 &= 13^2\\
a^2 &= 169 - 144\\
a^2 &= 25\\
a &= 5\end{align}||
Ainsi,
||\begin{align} c \cdot h &= a \cdot b \\
13\cdot h &= 5\cdot 12\\
13\cdot h &= 60\\
h &= \frac{60}{13}\\
h &\approx 4,6\end{align}||
La mesure du côté |\overline{CD}| est d'approximativement 4,6 cm.

Démonstration des théorèmes

Les vidéos
Les exercices
Les références