Mathématique m1296

La démonstration d'identités trigonométriques

​Les problèmes sur les identités trigonométriques demandent le plus souvent des manipulations algébriques qui simplifieront les termes. Lorsque l'on cherche à démontrer des identités trigonométriques, on veut en fait prouver la véracité de l'égalité qui les unit.
La plupart du temps, l'application de stratégies simples fonctionne bien:

1. Travailler sur un seul côté de l'égalité.

2. Transformer les termes en sinus et/ou cosinus. Cela aide souvent à voir le chemin qu’il faut parcourir pour arriver à une expression plus simple.

3. Chercher à obtenir une ou plusieurs identités trigonométriques de base;

4. Mettre sous le même dénominateur les fractions ;

5. Faire des mises en évidence pour simplifier des termes ;

6. Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué soit du numérateur, soit du dénominateur.

Voici les démonstrations des trois identités d'écoulant de la relation de Pythagore, c'est-à-dire |\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1, 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta| et |\cot^2 \theta + 1 = \text{cosec}^2 \theta|.

En utilisant ce dessin et la relation de Pythagore, on obtient que:
|\cos^2 \theta + \sin^2 \theta =1|

Si on divise tous les termes de l'égalité précédente par |\cos^2 \theta|, on obtient:
|\displaystyle \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} \rightarrow 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta.|

Maintenant, si on divise tous les termes de la première identité par |\sin^2 \theta|, on obtient:
|\displaystyle \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} + \frac{\sin^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2\theta} \rightarrow  \cot^2 \theta + 1 = \text{cosec}^2 \theta.|

Ces trois identités seront très utiles dans la démonstration d'identités trigonométriques.

Voici plusieurs exemples dans lesquels nous utiliserons les diverses stratégies énumérées ci-haut:

Démontrez l'identité ||\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cdot \cos \theta.||
Pour réussir à démontrer cette identité, il faut faire appel à une autre identité: |\sin(A+B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B|.

On peut écrire |\sin 2 \theta| sous la forme |\sin (\theta + \theta)|. Dans la formule ci-haut, on utilise |A= \theta| et |B = \theta|.

|\sin( \theta + \theta) = \sin \theta \cdot \cos \theta + \cos \theta \cdot \sin \theta|
| = \sin \theta \cdot \cos \theta + \sin \theta \cdot \cos \theta|, on utilise la commutativité de la multiplication.
| = 2 \sin \theta \cdot \cos \theta|

On a donc démontré le résultat voulu.

Démontrez l'identité ||\sin^2 \theta = 1 - \cot^2 \theta \cdot \sin^2 \theta.||
On travaillera sur le côté droit de l'égalité.

On débute en développant tout en termes de sinus et de cosinus.
|\displaystyle 1 - \cot^2 \theta \cdot \sin^2 \theta = 1 - \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \cdot \sin^2 \theta|

On peut effectuer une simplification.
|\displaystyle 1 - \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \cdot \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta|

On utilise l'identité |\cos^2 \theta + \sin^2 \theta =1| et on obtient l'égalité |\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta|.

En substituant |1-\cos^2 \theta| par |\sin^2 \theta| on a ainsi démontré le résultat voulu.

Démontrez l'identité ||\displaystyle \frac{\sec \theta}{\cot \theta} = \frac{\sin \theta}{1 - \sin^2 \theta}.||
On travaillera sur le côté gauche.

On développe le côté gauche en termes de sinus et de cosinus.
|\displaystyle \frac{\sec \theta}{\cot \theta} = \frac{\frac{1}{\cos \theta}}{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}|

On effectue la division entre les deux fractions.
|\small \displaystyle \frac{\frac{1}{\cos \theta}}{\frac{\cos \theta}{\sin\theta}} = \frac{1}{\cos \theta} \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta}|

On utilise l'identité |\cos^2 \theta + \sin^2 \theta=1| et on obtient l'égalité |\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta|. On substitue dans la fraction.
|\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{\sin \theta}{1 - \sin^2 \theta}|

On a donc démontré le résultat voulu.

Démontrez l'identité ||\displaystyle \cos \theta \cdot \sqrt{\sec^2 \theta -1} = \sin \theta.||
On travaillera dans le membre de gauche.

On utilise l'identité |1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta| et on obtient l'égalité |\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1|.

On remplace dans le membre de gauche.
|\cos \theta \cdot \sqrt{\sec^2 \theta-1} = \cos \theta \cdot \sqrt{\tan^2 \theta} = \cos \theta \cdot \tan \theta|

On développe la tangente.
|\displaystyle \cos \theta \cdot \tan \theta = \cos \theta \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta}|

On simplifie.
|\displaystyle \cos \theta \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \sin \theta|

On a donc démontré le résultat voulu.

Démontrez l'identité ||\displaystyle \frac{\cos^2 \theta \cdot \tan \theta}{\cot \theta}=\sin^2 \theta.||
Nous travaillerons sur le côté gauche de l'égalité.

On développe le côté gauche en termes de sinus et de cosinus.
|\displaystyle \frac{\cos^2 \theta\cdot \tan \theta}{\cot \theta}=\frac{\cos^2 \theta \cdot \frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}} = \frac{\cos \theta \cdot \sin \theta}{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}|

On continue à effectuer les opérations:
|\displaystyle \cos \theta \cdot  \sin \theta \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\cos \theta \cdot \sin^2 \theta}{\cos \theta} = \sin^2 \theta.|

On a donc démontré le résultat voulu.

Démontrez l'identité ||\tan^2 \theta - \sin^2 \theta = \tan^2 \theta \cdot \sin^2 \theta.||
Nous travaillerons sur le côté gauche de l'égalité.

On développe le côté gauche en termes de sinus et de cosinus.
|\small \displaystyle \tan^2 \theta - \sin^2 \theta=\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} - \sin^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} - \frac{\sin^2 \theta \cdot \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{\sin^2 \theta - \sin^2 \theta \cdot \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}|

On effectue une mise en évidence simple de |\sin^2 \theta| au dénominateur.
|\displaystyle \frac{\sin^2 \theta - \sin^2 \theta \cdot \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}=\frac{\sin^2 \theta(1-\cos^2 \theta)}{\cos^2 \theta}|

On utilise le fait que |\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1| pour remplacer |1-\cos^2 \theta| par |\sin^2 \theta|.
|\displaystyle \frac{\sin^2 \theta(1-\cos^2 \theta)}{\cos^2 \theta} = \frac{\sin^2 \theta \cdot \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}= \sin^2 \theta \cdot \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}=\sin^2 \theta \cdot \tan^2 \theta|

On a donc démontré le résultat voulu.

Démontrez l'identité ||\displaystyle \sin \theta \cdot ( 1 + \tan \theta) + \cos \theta \cdot (1 + \cot \theta) = \text{cosec } \theta + \sec \theta.||
Nous travaillerons sur le côté gauche de l'égalité.

On réécrit tout le côté gauche en termes de sinus et de cosinus.
|\displaystyle \sin \theta \cdot \left( 1 + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \right) + \cos \theta \cdot \left( 1 + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)|

On effectue les multiplications.
|\small \displaystyle \sin \theta \cdot \left( 1 + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \right) + \cos \theta \cdot \left( 1 + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right) = \sin \theta + \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \cos \theta + \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta}|

On réorganise les termes.
|\displaystyle \sin \theta + \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \cos \theta + \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} =  \sin \theta + \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} + \cos \theta + \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}|

On met les deux premiers sur un dénominateur commun et on met également les deux derniers termes sur un dénominateur commun.
|\displaystyle \frac{\sin^2 \theta}{\sin^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos \theta}+ \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta} + \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos \theta}|

On utilise l'identité |\cos^2 \theta + \sin^2 \theta =1| pour simplifier les numérateurs.
|\displaystyle \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta} + \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos \theta} = \frac{1}{\sin \theta} + \frac{1}{\cos \theta}|

Par définition, |\displaystyle \frac{1}{\sin \theta} + \frac{1}{\cos \theta} = \text{cosec } \theta + \sec \theta|.

On a donc démontré le résultat voulu.

Démontrez l'identité ||\displaystyle (\text{cosec } \theta - \cot \theta)^2 = \frac{1 - \cos \theta}{1+\cos \theta}.||
On développe le carré du côté gauche.
|(\text{cosec } \theta - \cot \theta)^2 = (\text{cosec }\theta - \cot \theta)(\text{cosec } \theta - \cot \theta) \\ = \text{cosec}^2 \theta - 2\text{cosec } \theta \cdot \cot \theta + \cot^2 \theta|

On développe en termes de sinus et de cosinus.
|\displaystyle \frac{1}{\sin^2 \theta} - 2 \cdot \frac{1}{\sin \theta} \cdot \frac{\cos \theta}{\sin \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta} - \frac{2\cos \theta}{\sin^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}|

On regroupe les termes puisqu'ils sont tous sur le même dénominateur puis on les réorganise.
|\displaystyle \frac{1}{\sin^2 \theta} - \frac{2 \cos \theta}{\sin^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}= \frac{\cos^2 \theta - 2 \cos \theta + 1}{\sin^2 \theta}|

Grâce à l'identité |\cos^2 \theta + \sin^2 \theta =1| on obtient l'égalité |\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta|. On remplace maintenant le |\sin^2 \theta|.
|\displaystyle \frac{\cos^2 \theta - 2 \cos \theta + 1}{\sin^2 \theta} = \frac{\cos^2 \theta - 2 \cos \theta +1}{1-\cos^2 \theta}|

Il faut maintenant factoriser à la fois le numérateur et le dénominateur.
|\displaystyle \cos^2 \theta - 2\cos \theta + 1 = (\cos \theta - 1)^2|, c'est un trinôme carré parfait.
|1 - \cos^2 \theta = (1-\cos \theta)(1 + \cos \theta)|, c'est une différence de carrés.

On réécrit la fraction.
|\displaystyle \frac{\cos^2 \theta - 2\cos \theta +1}{1-\cos^2 \theta} =\frac{(\cos \theta - 1)(\cos \theta -1)}{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)}|

Pour réussir à démontrer l'identité, il faut utiliser une astuce. Il faut mettre un -1 en évidence dans chacune des deux parenthèses au numérateur.

|\small \displaystyle \frac{(\cos \theta - 1)(\cos \theta - 1)}{(1 - \cos \theta)(1+\cos \theta)} = -1 \cdot -1 \cdot \frac{(1-\cos \theta)(1 - \cos \theta)}{(1 - \cos \theta)(1+\cos \theta)} = \frac{(1-\cos \theta)(1-\cos \theta)}{(1-\cos \theta)(1-\cos \theta)}|

On peut maintenant simplifier en éliminant un facteur |(1-\cos \theta)|.
|\displaystyle \frac{(1-\cos \theta)(1-\cos \theta)}{(1-\cos \theta)(1+\cos \theta)} = \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}|

On a donc démontré le résultat voulu.

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