Mathématique m1298

Les vecteurs

Pour aborder la notion de vecteur en mathématique, il y a beaucoup de nouveaux termes qui sont importants à maîtriser. Par ailleurs, chacun de ces termes ont une définition précise qui peuvent porter à confusion.

DÉFINITIONS​​AUTRES NOTIONS ASSOCIÉES AUX VECTEURS
Le vecteur
Grandeur scalaire
Grandeur vectorielle
Direction, sens et orientation d'un vecteur
Norme d'un vecteur​​
Le vecteur dans un plan cartésien
La comparaison entre deux vecteurs
L'addition et la soustraction de vecteurs
La multiplication de vecteurs par un scalaire et produit scalaire
La combinaison linéaire de vecteurs
Les propriétés des opérations
La projection orthogonale d'un vecteur
La démonstration des propositions portant sur les vecteurs
Les vecteurs en contexte

Le vecteur​

​Un vecteur​, généralement noté |\overrightarrow u|, est un objet mathématique qui possède à la fois une grandeur, une direction et un sens.

La direction et le sens constituent l'orientation du vecteur.

Par contre, ce n'est pas la seule façon d'identifier un vecteur.

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​Si |A| représente le point de départ d'un vecteur et |B| son point d'arrivée, on peut utiliser la notation |\overrightarrow {AB}| pour y faire référence.

Tout comme son écriture l'indique, le vecteur est en fait une droite qui possède un point de départ et une flèche pour indiquer son point d'arrivée et sa direction.

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Grandeur scalaire

La grandeur scalaire, généralement appelée scalaire, est une grandeur définie par un nombre réel.

En d'autres mots, il s'agit d'un coefficient qu'on applique à un vecteur et à ses composantes.

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Dans ce cas, la valeur du scalaire est |3|.

Grandeur vectorielle

La grandeur vectorielle​ est définie par un nombre, un sens et une direction.

Bref, on peut résumer la grandeur vectorielle par une utilisation concrète des vecteurs dans la vie de tous les jours.

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​Lors d'une croisière, un bateau s'arrête sur plusieurs petites îles afin que les touristes les visitent. Pour se rendre à la deuxième île, le capitaine doit maintenir le cap en direction nord-ouest à une vitesse de 25 noeuds afin de respecter leur horaire.
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Direction, sens et orientation d'un vecteur

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L'orientation ​d'un vecteur fait référence à la direction (droite qui supporte le vecteur) et au sens (flèche) de ​celui-ci.

Afin de bien distinguer ces trois notions, il est préférable de comparer plusieurs vecteurs ensembles.

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Selon l'inclinaison de la droite qui supporte chacun des vecteurs, on voit que la direction |\color{red}{\overrightarrow v}| est la même que |\color{blue}{\overrightarrow u}|.
Par contre, leur sens est différent puisque les flèches ne pointent pas vers le même endroit.

En identifiant le vecteur par son point de départ et son point d'arrivée, il est plus facile de reconnaître des vecteurs qui ont la même direction, mais qui sont de sens contraire.​​

|\overrightarrow {AB}| commence au point |A| et finit au point |B| alors que |\overrightarrow {BA}| commence au point |B| et finit au point |A|.

Norme d'un vecteur

​La norme d'un vecteur, notée | \mid \mid \overrightarrow v \mid \mid |, est un nombre réel qui définit la grandeur d'un vecteur.

En se référant à la géométrie analytique, il s'agit de la distance entre le point de départ du vecteur et son arrivée.​

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Ainsi, |\mid \mid \overrightarrow v \mid \mid = 12 \text{m}|.

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