Mathématique m1318

La position relative de deux droites

​​​​On détermine la position relative de deux droites à partir de leurs représentations graphiques ou de leurs équations. On peut avoir les cas suivant:

. Droites parallèles distinctes
(même pente et ordonnées à l'origine différentes)
Droites parallèles confondues
(même pente et même ordonnée à l'origine)
Droites sécantes
(pentes différentes)
Droites perpendiculaires
(le produit des pentes est -1)
Graphiques
Forme fonctionnelle
|y=mx+b|
|m_1 = m_2|
et
|b_1 \neq b_2|
|m_1 = m_2|
et
|b_1 = b_2|
|m_1 \neq m_2||m_1 \times m_2 = -1|
Forme générale
|\small Ax+By+C=0|
|\frac{-A_1}{B_1} = \frac{-A_2}{B_2}|
et
|\frac{-C_1}{B_1} \neq \frac{-C_2}{B_2}|
|\frac{-A_1}{B_1} = \frac{-A_2}{B_2}|
et
|\frac{-C_1}{B_1} = \frac{-C_2}{B_2}|
|\frac{-A_1}{B_1} \neq \frac{-A_2}{B_2}||\frac{-A_1}{B_1}\times \frac{-A_2}{B_2} = -1|

Il est plus facile de comparer des droites lorsqu’elles sont sous la forme fonctionnelle |y = mx + b|.

L’identification de droites parallèles

Des droites parallèles ne se coupent jamais dans le plan puisqu'elles ont la même pente.

Étant donné que deux droites parallèles possèdent exactement la même pente, ces droites ont la propriété géométrique de ne jamais se couper.

On distingue les droites parallèles distincteset les droites parallèles confondues.

L’identification de droites parallèles distinctes

Des droites parallèles distinctes(ou non confondues ou disjointes) sont des droites parallèles séparées l'une de l'autre.

Graphiquement, deux droites parallèles distinctes ont l'allure suivante:

À l'aide des équations, on reconnait deux droites parallèles distinctes lorsque leurs pentes sont identiques (car ce sont des droites parallèles), mais que leurs ordonnées à l’origine sont différentes (puisque ces droites sont séparées l'une de l'autre).

Les équations suivantes: |y = \color{red}{4}x \color{blue}{- 2}| et |y = \color{red}{4}x \color{blue}{+ 9}| sont parallèles distinctes puisque leurs pentes (en rouge) sont identiques mais que leurs ordonnées à l'origine (en bleu) sont différentes.

Soit les équations suivantes: |3y = 2x + 1| et |y = \color{red}{\frac{2}{3}}x \color{blue}{+ 4}|, on doit transformer la première équation sous forme fonctionnelle afin de pouvoir les comparer. Ainsi, on obtient donc |y = \color{red}{\frac{2}{3}}x \color{blue}{+ \frac{1}{3}}| pour la première équation. On constate que les pentes (en rouge) sont identiques mais que leurs ordonnées à l'origine (en bleu) sont différentes.

La résolution algébrique d'un système d'équations de droites parallèles distinctes ​​conduit à une impossibilité et n'admet aucune solution.

L’identification de droites parallèles confondues

Des droites parallèles et confondues sont des droites identiques, qui ont par conséquent la même équation.

Graphiquement, deux droites parallèles confondues ont l'allure suivante:

À l'aide des équations, on reconnait deux droites parallèles confondues lorsque leurs pentes sont identiques (car ce sont des droites parallèles), et que leurs ordonnées à l’origine sont identiques (puisque ces droites se confondent).

Les équations suivantes: |y = \color{blue}{-1} + x| et |y = x \color{blue}{- 1}| sont parallèles confondues puisque leurs ordonnées à l'origine (en bleu) sont identiques et que leurs pentes (ici les pentes sont égales à 1) sont égales.

Soit les équations suivantes: |4 = y + 2x| et |y = \color{red}{-2}x \color{blue}{+ 4}|, on doit transformer la première équation sous forme fonctionnelle afin de pouvoir les comparer. Ainsi, on obtient |y = \color{red}{-2}x \color{blue}{+ 4}| pour la première équation. On constate que les pentes (en rouge) et les ordonnées à l'origine (en bleu) sont identiques.

La résolution algébrique d'un système d'équations de deux droites parallèles confondues conduit à une égalité et admet une infinité de solutions.

L’identification de droites sécantes

Des droites sécantes sont des droites qui se coupent dans le plan en un seul point puisqu'elles n’ont pas la même pente.

Étant donné que deux droites sécantes ne possèdent pas la même pente, ces droites ont la propriété géométrique de se couper en un point.

Graphiquement, deux droites sécantes ont l'allure suivante: 

 

À l'aide des équations, on reconnait deux droites sécantes lorsque leurs pentes sont différentes (car ce sont des droites qui ne sont pas parallèles).

Les équations suivantes: |y = \color{red}{2}x \color{blue}{+ 3}| et |y = \color{red}{5}x \color{blue}{+ 1}| sont sécantes puisque leurs pentes (en rouge) sont différentes

Les équations suivantes: |y = x| et |y = \color{red}{10}x \color{blue}{- 5}| sont sécantes puisque leurs pentes (en rouge) sont différentes.

Des droites perpendiculaires sont aussi des droites sécantes puisqu'elles se coupent dans le plan et qu'elles n'ont pas la même pente.

L’identification de droites perpendiculaires

Des droites perpendiculaires sont des droites sécantes qui se coupent à angle droit puisque la pente de l'une est l'opposée de l'inverse de la pente de l'autre.

Deux droites perpendiculaires ont des pentes opposées et inverses. Le produit des pentes de deux droites perpendiculaires, non parallèles aux axes, est égal à -1.

Soient |y=m_1x+b_1| et |y=m_2x+b_2| deux droites perpendiculaires, alors |m_{1}\cdot m_{2} = -1|.

L'opposé d'un nombre réel |a| est |-a|. La somme de deux nombres opposés est nulle.

L'inverse d'un nombre réel |a| est |\frac{1}{a}|. Un nombre est l'inverse d'un autre si leur produit est 1.

Graphiquement, deux droites perpendiculaires ont l'allure suivante:

 

À l'aide des équations, on reconnait deux droites perpendiculaires lorsque leurs pentes sont opposées et inversées (car ce sont des droites qui sont perpendiculaires).

Les équations suivantes: |y = \color{red}{\frac{1}{2}}x \color{blue}{+ 5}| et |y = \color{red}{-2}x \color{blue}{+ 3}| sont perpendiculaires car le produit des deux pentes (en rouge) |(\frac{1}{2}\times -2)| est égal à -1.

Les équations suivantes: |y = \color{red}{\frac{-3}{5}}x \color{blue}{- 2}| et |y = \color{red}{\frac{5}{3}}x \color{blue}{+ 1}| sont perpendiculaires puisque le produit de leurs pentes (en rouge) |(\frac{-3}{5}\times \frac{5}{3})| est égal à -1.

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Les exercices
Les références