Mathématique m1320

Les formes d'équations d'une droite

​​​​On peut écrire l'équation d'une droite sous trois formes différentes: la forme fonctionnelle, la forme générale et la forme symétrique.

Tableau comparatif des trois formes d'équations d'une droite:

Forme d'équation Pente Ordonnée à l'origine
Fonctionnelle
|y = mx + b|
|m||b|
Générale
|Ax + By + C = 0|
|\displaystyle \frac{-A}{B}||\displaystyle \frac{-C}{B}|
Symétrique
|\displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1|
|\displaystyle \frac{-b}{a}||b|

La forme fonctionnelle de l'équation d'une droite

La forme fonctionnelle d’une droite est: |y=mx + b| où |m| est la pente de la droite et |b| est  son ordonnée à l’origine (valeur initiale).

Les droites ci-dessous sont exprimées sous la forme fonctionnelle:

|y = 2x + 3| où |m = 2| et |b = 3|

|y = -3x - 6| où |m = -3| et |b = -6|

|y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}| où |m = \frac{1}{2}| et |b = \frac{3}{4}|

La forme fonctionnelle permet d'exprimer toutes les droites à l'exception des droites verticales de forme |x = constante|. Dans cette forme, la pente |m| n'est pas définie puisqu'il est impossible de diviser par 0, ce qui serait le cas dans le calcul de la pente d'une droite verticale.

La forme générale de l'équation d'une droite

La forme générale d’une droite est:

|Ax + By + C = 0|

où:
|\bullet| L’équation doit être égale à 0.
|\bullet| |A| et |B| ne doivent pas être simultanément nuls​.
|\bullet| |A, B| et |C| doivent être des nombres entiers et le |A| doit être positif.

Contrairement à la forme fonctionnelle, on ne retrouve pas directement la valeur de la pente et de l'ordonnée à l'origine dans la forme générale de l'équation d'une droite. On doit plutôt les calculer à partir des coefficients A, B et C. Ainsi: 

|\bullet| La pente de la l'équation peut être calculée en utilisant la formule |m=\frac{-A}{B}|.

|\bullet| L'ordonnée à l'origine se calcule avec la formule |b=\frac{-C}{B}|.

Les droites ci-dessous sont sous la forme générale:

|2x - 3y + 7 = 0|
|x + 6y - 9 = 0|

La droite ci-dessous est exprimée sous la forme générale, mais la transformer pour en obtenir une qui est équivalente, plus esthétique et plus pratique au niveau arithmétique.

|\displaystyle \frac{-x}{2} + 3y - 7 = 0|

Il est possible de multiplier tous les termes par -2 pour éliminer la fraction et le signe négatif du paramètre |A|. À noter: il n'est toutefois pas obligatoire d'éliminer la fraction pour que l'équation soit exprimée sous la forme générale. ​​

|\displaystyle -2\cdot(\frac{-x}{2} + 3y - 7 = 0)|

Cela donne l'équation suivante:

|x - 6y + 14 = 0|.

La forme générale de l'équation d'une droite permet d'exprimer tous les types de droites, qu'elles soient verticales, horizontales, croissantes ou décroissantes.

La forme symétrique de l'équation d'une droite

La forme symétrique d’une droite est:

|\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1|

où:
|\bullet| |a| est l’abscisse à l’origine (le zéro);
|\bullet| |b| est l’ordonnée à l’origine (la valeur initiale).

Le |x| et le |y| doivent être les seuls éléments présents au numérateur de leur fraction respective.

Il est aussi important que |a\neq 0| et que |b\neq 0| puisqu’une division par 0 est indéterminée.

Contrairement à la forme fonctionnelle de l'équation d'une droite, on ne retrouve pas directement la valeur de la pente dans la forme symétrique de l'équation d'une droite. On doit plutôt la calculer à l'aide de la formule suivante:

La pente peut se calculer avec la formule: |\displaystyle m=\frac{-b}{a}|.

La droite ci-dessous est de la forme symétrique:

|\displaystyle \frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1|.

La droite ci-dessous n'est pas exprimée sous la forme symétrique:
|\displaystyle \frac{2x}{3}-\frac{7y}{4}=1|.

Cependant, il est possible de l'exprimer sous la forme symétrique, en inversant les coefficients de |x| et |y| et en les plaçant au dénominateur:

|\displaystyle \frac{x}{(\frac{3}{2})}+ \frac{y}{(\frac{-​4}{7})}=1|.

La forme symétrique permet d'exprimer l'équation de la majorité des droites à trois exceptions:
|\bullet| on ne peut pas exprimer une droite verticale (il n'y aurait pas d'ordonnée à l'origine |b|;
|\bullet| on ne peut pas exprimer une droite horizontale (il n'y aurait pas d'abscisse à l'origine |a|);
|\bullet| on ne peut pas exprimer une droite passant par l'origine |(0,0)| (il est impossible de diviser par 0). 

Comment passer d'une forme à l’autre

Il est possible de trouver la réponse sous les trois formes d'équation possibles. Afin de montrer de quelle façon on peut passer d'une forme à l'autre, on utilisera le même exemple pour les trois formes d'équation.


La forme fonctionnelle

Quelle est l'équation de la droite passant par les points |A (10,4)| et |B (-5,-8)|?

1. Déterminer la valeur de la pente de la droite.
|\displaystyle \text {Pente} = \frac{-8 - 4}{-5 - 10} = \frac{-12}{-15} = \frac{4}{5}|
Donc:
| \displaystyle y = \frac{4}{5}x + b|

2. Remplacer un point connu dans l'équation afin de déterminer l'ordonnée à l'origine.
|\displaystyle -8 = \frac{4}{5}\times{-5} + b|
Donc:
|b = -4|

3. L'équation sous forme fonctionnelle est:
|\displaystyle y = \frac{4}{5}x - 4|

De la forme fonctionnelle à la forme générale

À partir de la forme fonctionnelle de l'équation trouvée ci-haut:
|\displaystyle y = \frac{4}{5}x - 4|

Il faut mettre l'équation égale à 0 et les coefficients doivent être des nombres entiers.

1. On multiplie par 5 (les deux côtés de l'égalité) pour enlever le dénominateur et obtenir des coefficients entiers. Il faut également que le |A| soit positif.
|\displaystyle 5\cdot y=5\cdot (\frac{4}{5}x-4)|
|5y=4x-20|

2. On déplace le |5y| de l'autre côté du égal pour mettre le tout égal à zéro.
|0 = 4x – 5y – 20|

De la forme générale à la forme symétrique

À partir de la forme générale, il faut transformer l'équation pour qu'elle soit égale à 1.

1. On déplace le 20 de l'autre côté de l'égalité.
|20 = 4x -5y|

2. Il faut que l’égalité soit égale à 1. On divise donc tous les termes par 20.
|\displaystyle \frac{20}{20} = \frac{4}{20}x - \frac{5}{20}y|

3. Quand on simplifie, on obtient :
|\displaystyle 1 = \frac{x}{5} - \frac{y}{4}|

On apprend ainsi que l’abscisse à l’origine de la droite est 5 et que son ordonnée à l’origine est -4.

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