Mathématique m1327

Le cercle (conique)

​​​​Le cercle est le lieu géométrique de tous les points situés à égale distance d’un point nommé centre.

Les caractéristiques du cercle

Le centre d'une conique est l'endroit où se croisent au moins deux axes de symétrie de la conique.

On sait qu'un cercle est le lieu géométrique constitué de points situés à la même distance d'un point particulier que l'on nomme le centre.
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Sur l'image précédente, le centre est le point tracé en bleu. Si on traçait quelques axes de symétrie pour le cercle, ils se croiseraient tous au centre:

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La distance entre le centre du cercle et un de ses points est appelée rayon du cercle. Ainsi, le rayon d'un cercle est un segment joignant le centre du cercle à n'importe lequel des points de ce dernier.

Sur le dessin, l'un des rayons est tracé en rouge.

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L'équation du cercle

Lorsque le cercle est centré à l’origine, tout point |(x,y)| qui appartient au cercle peut être trouvé grâce à la relation de Pythagore. Cette propriété se retrouve dans l'équation du cercle: ||x^2+ y^2= r^2|| où |x| et |y| représentent les coordonnées d'un point sur le cercle et |r| le rayon du cercle.
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Lorsque le cercle est centré en un point autre que l’origine, on dit du centre du cercle qu'il a subi un déplacement horizontal et vertical. Ce déplacement est représenté par le point |(h, k)|, le nouveau centre du cercle.

Le paramètre |h| représente un déplacement horizontal, alors que le paramètre |k| représente un déplacement vertical.

L’équation du cercle devient alors :
||(x – h)^2+ (y – k)^2= r^2|| où |x| et |y| représentent les coordonnées d'un point sur le cercle, |r| représente le rayon, et |h| et |k|, les coordonnées du centre.

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C'est l'équation du cercle sous la forme canonique. Tout cercle, qu'il soit centré à l'origine ou non, peut être représenté par une telle équation.

Déterminer l'équation d'un cercle à partir d'un graphique

1.  Trouver le centre du cercle et déterminer ses coordonnées |(h,k)|.

2.  Déterminer le rayon du cercle.

3.  Remplacer les paramètres obtenus dans l'équation canonique du cercle.

Déterminer l'équation d'un cercle de rayon |2| centré au point |(-1, 2)|.
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1.  Trouver le centre du cercle et déterminer ses coordonnées |(h,k)|.
Les coordonnées du centre |(h,k)| du cercle sont |(-1,2)|.

2.  Déterminer le rayon du cercle.
Le rayon du cercle est égal à deux unités (|r=2|).

3.  Remplacer les paramètres obtenus dans l'équation canonique du cercle.
On obtient: ||(x-\color{blue}{\text{-}1})^2+(y-\color{blue}{2})=\color{blue}{2}^2\\ \Large \Downarrow \\\normalsize (x+1)^2+(y-2)^2=4||

Tracer un cercle à l'aide de son équation

1.  Dans l'équation, identifier les valeurs des paramètres |h| et |k|.

2.  Positionner le centre du cercle |(h,k)|.

3.  Identifier le paramètre |r| dans l'équation.

4.  Avec un compas, tracer à partir du centre un cercle dont le rayon est égal à |r|.

Soit l'équation |(x +4)^2 + (y -3)^2 = 16|

1. Dans l'équation, identifier les valeurs des paramètres |h| et |k|.
Les coordonnées du centre du cercle |(h,k)| sont |(-4,3)|.

2.  Positionner le centre du cercle |(h,k)|.

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3.  Identifier le paramètre |r| dans l'équation.
Le rayon est de 4 (|r=\sqrt{16}|).

4.  Avec un compas, tracer à partir du centre un cercle dont le rayon est égal à |r|.
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Trouver l'équation de la tangente à un cercle

Il est important de savoir qu'une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon passant au point de tangence.

1. Trouver la pente de la droite passant par le centre du cercle et le point donné.

2. Déterminer la pente de la tangente grâce à la pente calculée précédemment.

3. À l'aide de la pente de la tangente et des coordonnées du point de tangence, déterminer l'ordonnée à l'origine de la tangente.

4. Donner l'équation de la droite tangente sous la forme |y=ax+b|.

Déterminez l'équation de la tangente au cercle d'équation |(x+1)^2+(y-2)^2=25| au point |(2,6)|.

1. Trouver la pente de la droite passant par le centre du cercle et le point donné.
Le centre du cercle est |(-1,2)|. On calcule maintenant la pente de la droite passant par le centre du cercle et le point de tangence |(2,6)|.
||a= \displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{6-2}{2-\text{-}1}=\frac{4}{3}||

2. Déterminer la pente de la tangente grâce à la pente calculée précédemment.
La pente de la tangente est l'opposée de l'inverse de la pente que l'on a obtenu à l'étape précédente.
Ainsi, la pente de la tangente est |a = \displaystyle - \frac{3}{4}|.

3. Déterminer l'ordonnée à l'origine de la tangente.
En remplaçant les coordonnées du point de tangence et la pente de la tangeante dans l'équation de la tangente, on obtient:
||\displaystyle \begin{align}y&=ax+b & &\Rightarrow & \color{blue}{6}&=\color{blue}{\text{-}\frac{3}{4}}\color{blue}{(2)}+b \\ \\
& & & & 6&=\text{-}\frac{3}{2}+b\\ \\
& & & & \frac{15}{2}&=b\end{align}||

4. Donner l'équation de la droite tangente.
Ainsi l'équation de la tangente est ||y =\text{-}\displaystyle \frac{3}{4}x + \frac{15}{2}||.

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L'inéquation du cercle

Dans un cercle, lorsque l'on veut représenter une région délimitée par ce dernier, on applique les relations suivantes:

​Secteur du plan
​Représentation
graphique
Équation ou inéquation correspondante​
Si l'on veut l'extérieur du cercle sans la courbe. m1327i17.png ||(x-h)^2+(y-k)^2 >r^2||
Si l'on veut l'intérieur du cercle sans la courbe. m1327i18.png ||(x-h)^2+(y-k)^2 <r^2||
Si l'on veut l'extérieur du cercle avec la courbe. m1327i19.png ||(x-h)^2+(y-k)^2 \geq r^2||
Si l'on veut l'intérieur du cercle avec la courbe. m1327i22.png ||(x-h)^2+(y-k)^2 \leq r^2||
Si l'on veut seulement la courbe. m1327i21.png ||(x-h)^2+(y-k)^2=r^2||


Déterminer la forme générale de l'équation d'un cercle.
La forme générale de l'équation du cercle est donnée par:
||x^2+y^2+Dx+Ey+F=0||
Pour retrouver cette forme, il faut développe l'équation canonique d'un cercle: ||\begin{align*}
(x-h)^2 + (y-k)^2 &= r^2\\
(x-h)(x-h) + (y-k)(y-k) &= r^2 \\
x^2 - 2hx + h^2 + y^2 - 2ky + k^2 &= r^2
\\x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + h^2 + k^2 &= r^2 \\
x^2 + y^2 \color{red}{- 2h}x \color{blue}{- 2k}y +\color{green}{(h^2 + k^2 - r^2)} &=0 \\
x^2 + y^2 + \color{red}{D}x + \color{blue}{E}y + \color{green}{F} &= 0\end{align*}|| ​
​où |\color{red}{D= -2h}, \color{blue}{E= -2k}, \color{green}{F=h^2 + k^2 - r^2}​|.

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