Mathématique m1328

L'ellipse (conique)

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Une ellipse est le lieu géométrique de tous les points dont la somme des distances à deux points fixes appelés foyers est constante.

Caractéristiques de l'ellipse

|\bullet| L'ellipse possède deux axes de symétrie. Le plus long se nomme le grand axe et le plus court se nomme le petit axe.

|\bullet| L'ellipse possède deux foyers.

|\bullet| L'ellipse possède quatre sommets.

|\bullet| L'ellipse peut être horizontale ou verticale.


L'équation de l'ellipse

Comme on peut le retrouver dans plusieurs fonctions, l'équation qui définit l'ellipse utilise les paramètres |a, b, h| et |k|.

Ellipse de base (centrée à l'origine)​
||\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1||
Ellipse transformée
||\displaystyle \frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1|| ​
où |a| est la demi-mesure de l'axe horizontal, |b| est la demi-mesure de l'axe vertical et |(h,k)| sont les coordonnées du centre de l'ellipse.

|\bullet| Si |a>b|, l'ellipse est horizontale.
|\bullet| Si |a<b|, l'ellipse est verticale.

Relations dans l'ellipse

​​|a < b| (ellipse verticale)​|b < a|​(ellipse horizontale)
​Définition​Somme des distances d'un point de l'ellipse à chacun des foyers |\small =2b|.Somme des distances d'un point de l'ellipse à chacun des foyers |\small =2a|.​
​Ellipse de base​Sommets  ​|\small S_1:(a,0)\\
\small S_2: (\text-a,0) \\
\small S_3: (0,b)\\
\small S_4: (0,\text-b)|
​Sommets  ​|\small S_1: (a,0)\\
\small S_2:(\text-a,0)\\ 
\small S_3: (0,b) \\
\small S_4: (0,\text-b)|
​Foyers​Avec |\small c^2=b^2-a^2|,
on obtient
  |\small F_1:(0,c) \\
\small F_2: (0,\text-c)|
​Foyers​Avec |\small c^2=a^2-b^2|,
on obtient
  |\small F_1: (c,0)\\
\small F_2:  (\text-c,0)|​
​​Ellipse transformée​Sommets​  |\small S_1: (h+a,k)\\
\small S_2: (h-a,k)\\ \small S_3: (h,k+b)\\ \small S_4: (h,k-b)|
​Sommets​  |\small S_1:(h+a,k)\\
\small S_2:(h-a,k)\\ \small S_3: (h,k+b)\\ \small S_4: (h,k-b)|​​
​Foyers​​Avec |\small c^2=b^2-a^2|,
on obtient​
  |\small F_1: (h,k+c)\\ 
\small F_2: (h,k-c)\small ​|
​Foyers​Avec |\small c^2=a^2-b^2|,
on obtient
  |\small F_1: (h+c,k)\\
\small F_2: (h-c,k)|


Déterminer l'équation d'une ellipse à partir d'un graphique

Afin de déterminer l'équation d'une ellipse à partir d'un graphique, il faut déterminer la valeur des différents paramètres |a, b| et  |h, k|, s'il y a lieu.

Plusieurs cas sont possibles, mais on peut faire une liste de stratégies qui s'avèrent souvent utiles:

1. Déterminer la valeur des paramètres |h| et |k| à partir des coordonnées du centre de l'ellipse, s'il y a lieu.

2.  Si possible, déterminer la valeur du paramètre |a| qui correspond à la moitié de l'axe horizontal de l'ellipse, du paramètre |b| qui correspond à la moitié de l'axe vertical ou du paramètre |c| qui correspond à la distance entre le centre et le foyer.

3. Déterminer la valeur des paramètres manquants, |a|, |b| ou |c|, à l'aide de la relation de Pythagore ou d'un point appartenant à l'ellipse.

4. Écrire l'équation de l'ellipse

Exemple 1

Déterminer l’équation de cette ellipse.
m1328i10a.png 

1. Déterminer la valeur des paramètres |h| et |k|.
On remarque que l'ellipse est centrée à l'origine, donc |\small h=0| et |\small k=0|.

2. Si possible, déterminer la valeur des paramètres |a|, |b| et |c|.
On connaît les coordonnées de l'un des sommets |\small S(0,3)|. On peut l'utiliser pour déterminer |\small b| qui correspond à la demi-mesure de l'axe verticale. On obtient |\small b=3|.

On connaît aussi les coordonnées de l'un des foyers |\small F(4,0)|. On peut l'utiliser pour déterminer |\small c| qui correspond à la distance entre le centre et les foyers. On obtient |\small c=4|.

3. Déterminer la valeur des paramètres manquants.
Comme on connaît la valeur des paramètres |\small b| et |\small c|, on peut utiliser la relation de Pythagore pour calculer celle de |\small a|. L'ellipse étant horizontale, on doit utiliser la formule suivante: ||c^2=a^2-b^2|| On obtient: ||\begin{align}4^2&=a^2-3^2\\16+9&=a^2\\25&=a^2\end{align}\quad\Rightarrow\quad a=5||
4. Écrire l'équation de l'ellipse.
En remplaçant la valeur des paramètres, on obtient l'équation recherchée: ||\displaystyle \begin{align}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\qquad &\Rightarrow \qquad \frac{x^2}{\color{blue}{5}^2}+\frac{y^2}{\color{blue}{3}^2}=1\\ \\ &\Rightarrow\qquad \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\end{align}||

Exemple 2

Déterminer l’équation de cette ellipse.

m1328i11a.png 

1. Déterminer la valeur des paramètres |h| et |k|. 
L’ellipse est centrée au point |\small(2,\text{-}1)|, on a donc |\small h=2| et |\small k=\text{-}1| .

2. Si possible, déterminer la valeur des paramètres |a|, |b| et |c|.  Ici, on connaît la valeur de chacun des sommets de l'ellipse. On peut donc déterminer directement la valeur de |a| et de |b|, qui correspondent respectivement à la demi-mesure de l'axe horizontal et de l'axe vertical.

Comme l'axe horizontale mesure |\small 12| et que l'axe verticale mesure |\small 8|, on obtient que |\small a=6| et |\small b=4|.

3. Déterminer la valeur des paramètres manquants.
Pour cet exemple, on a toutes les informations nécessaires pour écrire l'équation.

4. Écrire l'équation de l'ellipse. 
En remplaçant les valeurs des paramètres, on obtient l'équation recherchée: ||\displaystyle \begin{align}\frac{(x-h)^{2}}{a^2}+\frac{(y-k)^{2}}{b^2}=1\qquad &\Rightarrow \qquad \frac{(x-\color{blue}{2})^{2}}{\color{blue}{6}^2}+\frac{(y-\color{blue}{(\text{-}1)})^{2}}{\color{blue}{4}^2}=1\\ \\&\Rightarrow \qquad \frac{(x-2)^{2}}{36}+\frac{(y+1)^{2}}{16}=1\end{align}||

Tracer une ellipse à l'aide de son équation

Afin de tracer une ellipse à l'aide de son équation, on peut suivre les étapes suivantes:

1. Identifier les paramètres |h| et |k| dans l'équation (s'il y a lieu) et positionner le centre.

2. Identifier la valeur du paramètre |a| dans l'équation et tracer l'axe horizontal de l'ellipse qui mesure |2a|.

3. Identifier la valeur du paramètre |b| dans l'équation et tracer l'axe vertical de l'ellipse qui mesure |2b|.

4. Tracer l'ellipse

Trace l'ellipse représentée par l'équation suivante: ||\displaystyle \frac{(x-5)^{2}}{64}+\frac{(y+4)^{2}}{100}=1||
1. Identifier les paramètres |h| et |k| dans l'équation (s'il y a lieu) et positionner le centre.
Le centre se situe aux coordonnées |\small (h,k)=(5,\text{-}4)|.

m1328i12aa.png

2. Identifier la valeur du paramètre |a| dans l'équation et tracer l'axe horizontal de l'ellipse.
La valeur de |\small a| est de |\small \sqrt{64}=8|. La mesure de l'axe horizontal est donc de |\small 2a=16|.

3. Identifier la valeur du paramètre |b| dans l'équation et tracer l'axe vertical de l'ellipse.
La valeur de |\small b| est de |\small \sqrt{100}=10|. La mesure de l'axe vertical est donc de |\small 2b=20|.

m1328i12bb.png 

4. Tracer l'ellipse

m1328i12c.png 

L'inéquation d'une ellipse

Dans une ellipse, lorsque l'on veut représenter une région délimitée par celle-ci, on applique les relations suivantes:

Secteur du plan​Représentation
graphique​
Équation ou inéquation correspondante​
Si l'on veut l'extérieur sans la courbe. m1328i13.png |\displaystyle \frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}>1|
Si l'on veut l'intérieur sans la courbe. m1328i13a.png |\displaystyle \frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}<1|
Si l'on veut l'extérieur avec la courbe. m1328i13b.png |\displaystyle \frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}\geq1|
Si l'on veut l'intérieur avec la courbe. m1328i13c.png |\displaystyle \frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}\leq1|
Si l'on veut seulement la courbe. m1328i13d.png |\displaystyle \frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1|

Retrouver l'équation canonique d'une ellipse à partir de son équation sous forme générale.
Être capable de passer d'une forme d'équation à l'autre peut être utile pour résoudre certains problèmes concernant l'ellipse.

Exemple:

Déterminer la distance focale (distance entre le centre et les foyers) de l’ellipse déterminée par l’équation suivante :||x^2+9y^2 + 8x - 18y - 56 = 0||
 
Étape 1: Factoriser l’équation à l'aide de la complétion du carré.
On commence par regrouper les termes partageant la même variable:
||\color{blue}{\underbrace{x^2 + 8x}} + \color{red}{\underbrace{9y^2 - 18y}} - 56 = 0||
On effectue les complétions de carré:
||\color{blue}{x^2 + 8x = (x+4)^2 - 16}\qquad \qquad\color{red}{9y^2-18y = 9[(y-1)^2-1]}||
On remplace dans l'équation de départ et on réduit les termes constants:||\begin{align*}
\color{blue}{x^2 + 8x} + \color{red}{9y^2 - 18y} - 56 &= 0\\ \color{blue}{(x+4)^2 - 16} + \color{red}{9[(y-2)^2-1]} -56&=0\\
\color{blue}{(x+4)^2 - 16} + \color{red}{9(y-2)^2-9}-56 &=0 \\ (x+4)^2 +9(y-2)^2 - 81 & =0
\end{align*}||
Étape 2: Effectuer les manipulations nécessaires pour que l'équation soit égal à |\small 1| afin de retrouver l'équation sous la forme canonique.
||\begin{align*}
(x+4)^2 + 9(y-1)^2 &= 81 \\​
\\
\displaystyle \frac{(x+4)^2}{81} + \frac{9(y-1)^2}{81} &=1\\
\\
\displaystyle \frac{(x+4)^2}{81} + \frac{(y-1)^2}{9} &=1
\end{align*}||
Étape 3: Calculer la racine carrée des dénominateurs des termes en |\small x| et en |\small y| pour trouver les valeurs de |\small a| et |\small b|.||a^2 = 81 \Rightarrow a = 9\qquad \qquad b^2 = 9 \Rightarrow b = 3||
Étape 4 Calculer la valeur de |\small c|.
Comme |\small a>b|, on utilise l'équation suivante: ||\begin{align}c^2&=a^2-b^2\\c^2&=9^2-3^2\\c^2&=81-9\\c^2&=72\\c&\approx 8,5\end{align}||La distance focale de cette ellipse est donc d'environ |\small 8,5|.

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