Mathématique m1329

L'hyperbole (conique)

​​​​​​​​​​​Une hyperbole est le lieu géométrique de tous les points dont la différence des distances à deux points fixes appelés foyers est constante. Cette constante est égale à la distance entre les deux sommets de l'hyperbole. Le point milieu du segment joignant les deux sommets est le centre de l'hyperbole.

Caractéristiques de l'hyperbole

​|\bullet| L'hyperbole possède deux sommets.

|\bullet| L'hyperbole possède deux foyers.

|\bullet| L'hyperbole possède deux asymptotes.

|\bullet| La droite passant par les deux foyers est l'axe transversal et la droite passant par le point d'intersection entre les asymptotes et perpendiculaire à l'axe transversal est l'axe conjugué.

|\bullet| On peut former un rectangle délimité par les sommets de l'hyperbole et les asymptotes.

L'équation de l'hyperbole

Hyperbole verticale
De base
||\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1||
Transformée
​ ||\displaystyle \frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2}=-1||
​où
|a| est la moitié de la largeur du rectangle de l'hyperbole;
|b| est la mesure entre un sommet de l'hyperbole et son centre;
|(h,k)| sont les coordonnées du centre de l'hyperbole (intersection des asymptotes)

Hyperbole horizontale
De base
​||\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1||
Transformée
​||\displaystyle \frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2}=1||​

|a| est la mesure entre un sommet de l'hyperbole et son centre;
|b| est la moitié de la hauteur du rectangle de l'hyperbole;
|(h,k)| sont les coordonnées du centre de l'hyperbole (intersection des asymptotes)

R​elations dans l'hyperbole

​​Hyperbole verticaleHyperbole horizontale
​Définition Tous les points dont la différence des distances à deux points fixes (foyers) est constante |\small = 2 \cdot b| Tous les points dont la différence des distances à deux points fixes (foyers) est constante |\small =2 \cdot a|​​
​Asymptotes​Pente |=\pm \frac{b}{a}|
​​Hyperbole de base​Sommets  ​|\small S_1:(0,b)\\
\small S_2: (0,\text{-}b)|
​Sommets  ​|\small S_1: (a,0)\\
\small S_2:(\text-a,0)|
​Foyers​ Avec |\small c^2=a^2+b^2|,
 on obtient
  |\small F_1:(0,c) \\
\small F_2: (0,\text-c)|
​Foyers​ Avec |\small c^2=a^2+b^2|,
 on obtient
  |\small F_1: (c,0)\\
\small F_2:  (\text-c,0)|​
​Rectangle​|\small R_1 : (a,b) \\
\small R_2 : (a,\text-b) \\
\small R_3 : (\text-a,\text-b) \\
\small R_4 : (\text-a,b) |
​​​Hyperbole 
transformée
​Sommets​  |\small S_1: (h,k+b)\\
\small S_2: (h,k-b)|
​Sommets​  |\small S_1:(h+a,k)\\
\small S_2:(h-a,k)|​​
​Foyers​​ Avec |\small c^2=a^2+b^2|,
 on obtient​
  |\small F_1: (h,k+c)\\ 
\small F_2: (h,k-c) ​|
​Foyers​ Avec |\small c^2=a^2+b^2|,
 on obtient
  |\small F_1: (h+c,k)\\
\small F_2: (h-c,k)|
​Rectangle​​​|\small R_1 : (h+a,k+b) \\
\small R_2 : (h+a,k-b) \\
\small R_3 : (h-a,k-b) \\
\small R_4 : (h-a,k+b) |

Déterminer l'équation d'une hyperbole à partir d'un graphique

Afin de déterminer l'équation d'une hyperbole à partir d'un graphique, il faut déterminer la valeur des différents paramètres |a|, |b| et |h|, |k|, s'il y a lieu.
Plusieurs cas sont possibles, mais on peut faire une liste de stratégies qui s'avèrent souvent utiles:

1. Déterminer la valeur des paramètres |h| et |k| à partir des coordonnées du centre de l'hyperbole, s'il y a lieu.

2. Si l'hyperbole est horizontale, déterminer la valeur du paramètre |a| qui correspond à la distance entre le centre et l'un des sommets de l'hyperbole.
    Si l'hyperbole est verticale, déterminer la valeur du paramètre |b| qui correspond à la distance entre le centre et l'un des sommets de l'hyperbole.

3. Déterminer la valeur de |a|, |b| ou |c| à l'aide des coordonnées du foyer, du rectangle de l'hyperbole, d'un point sur l'hyperbole et/ou de la relation de Pythagore.

4. Choisir la bonne forme d'équation selon l'orientation de l'hyperbole et y remplacer la valeur des paramètres.

5. Déterminer l'équation des asymptotes, au besoin.

Exemple 1

Déterminer l’équation de cette hyperbole et de ses asymptotes.

m1329i10.png 

1.
On sait qu’elle est centrée à l'origine. On a donc |\small h=0| et |\small k=0|.

2. L'hyperbole est verticale et on connaît les coordonnées d'un sommet |\small (0,2)|. On détermine donc que |\small b=2|.

3. Puisque que l'on connaît les coordonnées du foyer et que l'hyperbole est centrée à l'origine, on peut déduire que |\small c=4|. Comme on connaît la valeur de |\small c| et de |\small b|, on peut trouver la valeur du paramètre |\small a| à l'aide de la relation de Pythagore.
||\begin{align} a^2&=c^2-b^2\\ a^2&=4^2-2^2 \\a^2&=16-4\\ a^2&=12 \end{align}\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{12}||
4. On remplace nos paramètres dans l'équation de l'hyperbole verticale centrée à l'origine. ||\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1  \quad \Rightarrow \quad \frac{x^2}{(\sqrt{12})^2}-\frac{y^2}{2^2}=-1|| L'équation de cette hyperbole est donc: || \displaystyle \frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=-1||
5. On détermine la pente des asymptotes à l'aide de la formule suivante: ||\displaystyle\small{\text{Pente}}\normalsize=\pm\frac{b}{a}=\pm\frac{2}{\sqrt{12}}|| Il nous faut rationaliser cette fraction, car il y a un radical au dénominateur. On simplifiera ensuite pour obtenir ceci: ||\small \displaystyle\begin{align} \frac{2}{\sqrt{12}}\times\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{12}}&=\frac{2\sqrt{12}}{12} \\&=\frac{\sqrt{4\cdot 3}}{6}\\&=\frac{2\sqrt3}{6}\\&=\frac{\sqrt3}{3}\end{align}|| Comme les deux asymptotes passent par l'origine, leur équation est donnée par:||\displaystyle y=\frac{\sqrt3}{3}x\qquad\qquad y=-\frac{\sqrt3}{3}x||

Exemple 2

Déterminer l’équation de cette hyperbole et de ses asymptotes.

m1329i11.png 

1. L’hyperbole est centrée au point |\small (1,\text{-}2)|. On a donc |\small h=1| et |\small k=\text{-}2|.

2. L'hyperbole est horizontale et on connait les coordonnées de l'un des sommets, |\small S_1(3,\text{-}2)|. On détermine donc que |\small a|, la distance entre le centre et les sommets, est égal à |\small 2|.

3.
On connaît la valeur du paramètre |\small a| ainsi que les coordonnées d'un point, |\small (4,2;0,5)|, appartenant à l'hyperbole. Comme on connaît tous les paramètres de l'équation de l'hyperbole sauf |\small b|, on peut donc remplacer le |\small x| et le |\small y| par ce couple dans l'équation de l'hyperbole pour trouver |\small b|.

4. Comme nous avons affaire à une hyperbole horizontale, nous devons choisir l'équation suivante: ||\displaystyle \frac{(x-h)^{2}}{a^2}-\frac{(y+k)^{2}}{b^2}=1|| En remplaçant les paramètres connus, on obtient: || \displaystyle \frac{(x-1)^{2}}{4}-\frac{(y+2)^{2}}{b^{2}}=1|| En utilisant les coordonnées du point |\small (4,2;0,5)|, on peut trouver la valeur du paramètre |\small b| de cette façon:
|| \displaystyle \begin{align}\ \frac{(4,2-1)^{2}}{4}-\frac{(0,5+2)^{2}}{b^{2}}&=1\\ \\ \frac{(3,2)^{2}}{4}-\frac{(2,5)^{2}}{b^{2}}&=1\\ \\2,56-\frac{6,25}{b^2}&=1\\ \\-\frac{6,25}{b^2}&=-1,56 \quad \Rightarrow \quad b=\sqrt{\frac{-6,25}{-1,56}}\end{align}||
On obtient que |\small b=2|.

L'équation de cette hyperbole est donc:
||\displaystyle \frac{(x-1)^{2}}{4}-\frac{(y-2)^{2}}{4}=1||
5. Pour les équations des asymptotes, on détermine premièrement leur pente a l'aide de la formule suivante: ||\displaystyle \small{\text{Pente}}\normalsize=\pm\frac{b}{a}=\pm\frac{2}{2}=\pm1||
Comme les deux asymptotes passe par le centre de l'hyperbole |\small (1,\text{-}2)| et que l'on connaît leur pente, on peut déterminer leur ordonnée à l'origine. ||\begin{align} y_1&=a_1x+b_1 & &\qquad & y_2&=a_2x+b_2 \\ (\text{-2})&=(1)+b_1 & &\qquad & (\text{-}2)&=-(1)+b_2 \\ -3&=b_1 & &\qquad & -1&=b_2\end{align}||Les équations des asymptotes sont donc: ||y_1=x-3 \qquad \qquad y_2=-x-1||

Tracer une hyperbole à l'aide de son équation

Afin de tracer une hyperbole à l'aide de son équation, on peut suivre les étapes suivantes:

1. Identifier les paramètres |h| et |k| dans l'équation (s'il y a lieu).

2. Tracer les asymptotes.

3. Déterminer les sommets de l'hyperbole, puis tracer l'esquisse.

Trace ​​l'hyperbole représentée par l'équation suivante: ||\displaystyle \frac{(x-5)^{2}}{64}-\frac{(y+4)^{2}}{100}=1||
1. Identifier les paramètres |h| et |k| dans l'équation (s'il y a lieu) et positionner le centre.
Le centre se situe aux coordonnées |\small (h,k) =(5,-4)|.

m1329i12.png 

2. Tracer les asymptotes.
Pour tracer les asymptotes, comme on connaît les valeurs de paramètre |\small h|, |\small k|, |\small a=8| et |\small b=10|, on peut utiliser le rectangle de l'hyperbole dont les sommets correspondent à:||\begin{align}R_1&:(h+a,k+b) & &\Rightarrow & (13&,6) \\R_2&:(h+a,k-b) & &\Rightarrow & (\text{-}3&,6) \\ R_3&:(h-a,k-b)& &\Rightarrow & (\text{-}3&,\text{-}14) \\R_4&:(h-a,k+b) & &\Rightarrow & (13&,\text{-}14)\end{align}||Après avoir tracé le rectangle, on peut tracer les asymptotes de l'hyperbole avec des droites passant par les paires de sommets opposés du rectangle:

m1329i13.png 

3. Déterminer les sommets de l'hyperbole, puis tracer l'esquisse de l'hyperbole.
Puisque l'hyperbole est horizontale, on détermine les coordonnées des sommets de l'hyperbole à partir des formules suivantes: ||\begin{align}S_1&:(h-a,k) & &\Rightarrow & (\text{-}3&,\text{-}4)\\ S_2&:(h+a,k)& &\Rightarrow & (13&,\text{-}4)\end{align}||
On peut maintenant tracer une esquisse de l'hyperbole en s'assurant de s'approcher des asymptotes sans n'y toucher!

m1329i14a.png

L'inéquation d'une hyperbole

L'intérieur d'une hyperbole correspond à la région où sont situés les foyers.

Dans une hyperbole, lorsque l'on veut représenter une région délimitée par cette dernière, on applique les relations suivantes:

Si l'on veut l'extérieur de l'hyperbole verticale sans les points situés s​ur la courbe. m1329i23.PNG |\displaystyle \frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2} >  -1|
Si l'on veut l'intérieur de l'hyperbole verticale sans les points situés sur la courbe.m1329i22.PNG |\displaystyle \frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2} < -1|
Si l'on veut l'extérieur de l'hyperbole horizontale sans les points situés sur la courbe.​          m1329i20.PNG|\displaystyle \frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2} < 1|
Si l'on veut l'intérieur de l'hyperbole horizontale sans les points situés sur la courbe. m1329i21.PNG |\displaystyle \frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2} > 1|

Par ailleurs, si on veut inclure les points qui sont sur l'hyperbole, on n'a qu'à changer les symboles d'inéquations |<, >| pour les symboles |\geq , \leq|.​​​

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Les exercices
Les références