Mathématique m1336

Les types d'événements

​Un événement est un sous-ensemble de l'univers des résultats possibles d'une expérience aléatoire.

Les éléments qui appartiennent à un tel sous-ensemble sont appelés les résultats (ou cas) favorables à la réalisation de l'événement.

Lors d'une expérience aléatoire, on peut parfois faire une prédiction, c'est-à-dire prédire un événement futur encore inconnu, mais qui a une chance de se produire. Lors de cet événement, on pourra obtenir certains résultats parmi tous les résultats possibles.

Si on lance un dé à six faces numérotées de 1 à 6, plusieurs événements peuvent arriver.

Univers des résultats possibles: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Un événement peut correspondre à un seul résultat, à plusieurs résultats ou à tous les résultats de l'univers des possibles. Il peut aussi ne correspondre à aucun résultat. On distingue ainsi différents types d'événements.

On désigne toujours un événement à l'aide d'une lettre majuscule.

Événement élémentaire

Un événement est élémentaire s'il ne contient qu'un seul résultat de l'univers des possibles. Le résultat composant l'événement élémentaire est appelé singleton.

|\bullet| On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. L’événement « obtenir l’as de pique » est un événement élémentaire car il ne contient qu'un seul résultat de l'univers des possibles.
La probabilité de cet événement est |\displaystyle \frac{1}{52}|.

|\bullet| L'événement « obtenir un 3 » lorsqu'on lance un dé est un événement élémentaire car il ne contient qu'un seul résultat de l'univers des possibles.
La probabilité de cet événement est |\displaystyle \frac{1}{6}|.

La somme des probabilités de tous les événements élémentaires d'une expérience aléatoire est égale à 1.

Événements certain, possible, impossible

On peut illustrer les événements certain, possible et impossible sur une ligne des probabilités. Sur cette ligne, plus un résultat est situé à gauche et moins il a de chances de se produire.


Exemple pour les résultats liés à l'expérience « tirer un dé »

Un événement certain est un événement qui se produit toujours. Il correspond à l'univers des résultats possibles. 

La probabilité d'un événement certain |(A)| est toujours égale à 1 ou à 100% (|\mathbb P(A) = 1|).

|\bullet| L'événement « obtenir un nombre entre 1 et 6 » lorsqu'on lance un dé est un événement certain, car l'événement correspond à l'ensemble des résultats possibles.
La probabilité de cet événement est |\displaystyle \frac{6}{6}| ou |1|.

|\bullet| L'événement « obtenir une bille rouge » lorsqu'on tire une bille dans un sac contenant trois billes rouges est un événement certain, car l'événement correspond à l'ensemble des résultats possibles.
La probabilité de cet événement est |\displaystyle \frac{3}{3}| ou |1|.

Un événement possible est un événement qui peut se produire. On dit aussi événement probable.

La probabilité d'un événement possible |(A)| se situe entre 0 et 1 (|0 < \mathbb P(A) < 1|), ces deux extrêmes étant exclus.

|\bullet| L'événement « obtenir pile » lorsqu'on lance une pièce de monnaie est un événement probable, car il correspond à un sous-ensemble non vide de l'univers des possibles (A = {pile}).
La probabilité de cet événement est |\displaystyle \frac{1}{2}| ou 50%.

|\bullet| L'événement « obtenir un nombre pair » lorsqu'on lance un dé est un événement probable, car il correspond à un sous-ensemble non vide de l'univers des possibles (A = {2, 4, 6}).
La probabilité de cet événement est |\displaystyle \frac{3}{6}| ou |\displaystyle \frac{1}{2}|.

Un événement impossible est un événement qui ne se produira jamais, que l'on est certain de ne pas avoir.

La probabilité d'un événement impossible |(A)| est toujours égale à 0 ou 0% (|\mathbb P(A) = 0|).

|\bullet| L'événement « obtenir le nombre 7 » lorsqu'on lance un dé à six faces est un événement impossible, car le nombre 7 ne fait pas parti de l'univers des résultats possibles.
La probabilité de cet événement est |0|. 

|\bullet| L'événement « obtenir une bille bleue » lorsqu'on pige une bille dans un sac contenant trois billes rouges est un événement impossible, car il n'y a pas de bille bleue dans le sac.
La probabilité de cet événement est |0|.

Événements moins probable, plus probable, équiprobable

Des événements sont équiprobables lorsqu'ils ont les mêmes chances de se produire.

Lorsque deux événements A et B possèdent la même probabilité de se produire, on dit alors qu'ils sont équiprobables.

|\bullet| L'événement A « obtenir un nombre inférieur à 2 » et l'événement B « obtenir un nombre supérieur à 5 » lorsqu'on tire un dé à six faces sont deux événements équiprobables puisqu'ils ont autant de chances de se produire l'un que l'autre.
La probabilité de l'événement A est |\mathbb P(A) = \frac{1}{6}| et la probabilité de l'événement B est |\mathbb P(B) = \frac{1}{6}| puisqu'ils n'ont qu'un résultat possible chacun. Ils sont donc équiprobables.

|\bullet| L'événement A « obtenir un roi » et l'événement B « obtenir un 5 » lorsqu'on pige une carte dans un jeu de 52 cartes sont deux événements équiprobables puisqu'ils ont autant de chances de se produire l'un que l'autre.
La probabilité de l'événement A est |\mathbb P(A) = \frac{1}{13}| et la probabilité de l'événement B est |\mathbb P(A) = \frac{1}{13}| puisqu'ils ont 4 résultats possibles chacun. Ils sont donc équiprobables. 

Un événement est moins probable lorsqu'il a moins de chances de se produire qu'un autre événement.

Un événement est plus probable lorsqu'il a plus de chances de se produire qu'un autre événement.

Il est possible de comparer les probabilités de plusieurs événements les unes par rapport aux autres. Dans ce cas, on pourra dire qu'un événement est plus probable qu'un autre s'il a plus de chances de survenir alors qu'il sera moins probable s'il a moins de chances de survenir que l'autre.


L'événement A « piger une carte de carreau » est plus probable que l'événement B « piger une dame » puisqu'il a plus de chances de se produire. En effet, la probabilité de l'événement A est |\mathbb P(A) = \frac{13}{52}| alors que la probabilité de l'événement B est |\mathbb P(B) = \frac{4}{52}|.

Conséquemment, on peut dire que l'événement B est moins probable que l'événement A puisque sa probabilité est inférieure.

Événements complémentaires

Des événements (A et B) sont complémentaires lorsqu'ils sont incompatibles et que la réunion de leurs résultats correspond à l'univers des résultats possibles.

Pour que deux événements soient complémentaires, leur intersection doit être vide |(A \cap B = \emptyset)| et la réunion de leurs résultats doit être équivalente à l'univers des résultats possibles |(A \cup B = \Omega)|.

La probabilité de deux événements complémentaires |(A| et |B)| correspond à la somme des probabilités de chaque événement. Cette somme est égale à 1 |(\mathbb P(A) + \mathbb P(B) = 1)| lorsque les deux événements sont complémentaires.

En général, l'événement complémentaire à l'événement |A| est noté |A'| ou |A^c|.

|\bullet| L'événement A « obtenir une carte rouge » et l'événement B « obtenir une carte noire » sont des événements complémentaires puisque la réunion de leurs résultats correspond à l'ensemble des cartes contenues dans un jeu de 52 cartes.
La somme des probabilités de ces événements est égale à 1 |(\mathbb P(A) + \mathbb P(B) = \frac{26}{52} + \frac{26}{52} = 1)|.

|\bullet| L'événement A « obtenir un nombre pair » et l'événement B « obtenir un nombre impair » lorsqu'on lance un dé à 6 faces sont des événements complémentaires puisque la réunion de leurs résultats correspond à l'ensemble des résultats possibles.

Lorsque l'on cherche la probabilité d'un événement |A| et que l'on peut calculer la probabilité de son complémentaire |A'|. Alors on peut utiliser la relation |\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(A')=1|.

On obtient alors la probabilité recherchée: |\mathbb{P}(A)=1-\mathbb{P}(A')|.

Événements compatibles, incompatibles

Deux événements (A et B) sont compatibles s’ils ont un ou des éléments en commun.

Pour que deux événements soient compatibles, leur intersection ne doit pas être vide |(A \cap B \neq \emptyset)|. Ainsi, il existe au moins un résultat qui soit commun aux deux événements. Dans un diagramme de Venn, il y aurait donc un ou des résultats dans l'intersection des sous-ensembles.

|\bullet| L'événement A « obtenir un 2, un 4 ou un 6 » et l'événement B « obtenir un 2, un 3 ou un 5 » lorsqu'on tire un dé sont deux événements compatibles puisqu'il est possible d'obtenir un 2 lors des deux événements |(A \cap B = \lbrace2\rbrace)|.

On constate qu'il y a une valeur présente dans l'intersection lorsqu'on représente les événements à l'aide d'un diagramme de Venn, ce qui correspond à des événements compatibles.

Deux événements sont incompatibles lorsqu'ils n'ont aucun élément en commun.

L'intersection entre des événements incompatibles est vide (|A \cap B = \emptyset|).

|\bullet| L’événement A « obtenir 2, 4 ou 6 » et l’événement B « obtenir 1 » correspondent à deux événements incompatibles puisqu'ils n'ont aucun élément commun.

On constate qu'il n'y a aucun élément dans l'intersection du diagramme de Venn, ce qui correspond à des événements incompatibles.

Événements indépendants, dépendants

Des événements sont indépendants lorsque la réalisation de l'un n'influence pas la réalisation de l'autre.

La probabilité d'un événement n'est pas affectée par la réalisation de l'autre événement lorsque deux événements sont indépendants l'un de l'autre. C'est souvent le cas lors d'une expérience aléatoire composée avec remise.

Lorsqu'on lance un dé à deux reprises, la probabilité d'obtenir un 2 au deuxième lancer n'est pas affecté par la probabilité d'obtenir un 5 au premier lancer puisque les deux tirages sont des événements indépendants.

La probabilité de la réalisation consécutives de événements indépendants |A| et |B| est donnée par |\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}(B)|. On appelle cette propriété le principe de multiplication.

Des événements sont dépendants lorsque la réalisation de l'un affecte la réalisation de l'autre.

La probabilité d'un événement est affectée par la réalisation de l'autre événement lorsque deux événements sont dépendants l'un de l'autre. C'est souvent le cas lors d'une expérience aléatoire composée sans remise.

On tire deux cartes sans remise d'un jeu de 52 cartes. Comme il n'y a pas de remise de la première carte pigée, le deuxième événement est influencé par le premier puisqu'il n'y a plus que 51 cartes dans le jeu après le premier événement. La probabilité du deuxième événement est donc dépendante du premier événement.

Lors d'une expérience aléatoire, si les événements |A| et |B| sont dépendants alors on a |\mathbb{P}(A \cap B) \neq \mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}(B)|.

Événements mutuellement exclusifs, non mutuellement exclusifs

Des événements sont mutuellement exclusifs s'ils ne peuvent pas se produire en même temps.

Lorsque deux événements sont mutuellement exclusifs, l'ensemble-solution de leur intersection est vide |(A \cap B = \emptyset)|. De plus, deux événements |A| et |B| incompatibles sont nécessairement mutuellement exclusifs.

Dans ce cas, la probabilité de l'événement A ou de l'événement B est |\mathbb P(A \cup B) = \mathbb P(A) + \mathbb P(B)|.

On pige une carte dans un jeu de 52 cartes. L'événement A « obtenir un coeur» et l'événement B « obtenir une carte noire» sont des événements sont mutuellement exclusifs car ils ne peuvent pas se produire en même temps; une seule carte ne peut pas à la fois être un coeur et être noire.

Des événements sont non mutuellement exclusifs s'ils peuvent se produire en même temps.

Lorsque deux événements sont non mutuellement exclusifs, l'ensemble-solution de leur intersection n'est pas vide |(A \cap B \neq \emptyset)|.

Dans ce cas, la probabilité de l'événement A ou de l'événement B est |\mathbb P(A \cup B) = \mathbb P(A) + \mathbb P(B) - \mathbb P(A \cap B)|.


On pige une carte dans un jeu de 52 cartes. L'événement A « obtenir un roi» et l'événement B « obtenir une carte noire» sont des événements non mutuellement exclusifs car ils peuvent se produire en même temps; les rois de pique et de trèfle sont à la fois des rois et des cartes noires.

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Les exercices
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