Mathématique m1341

Le dénombrement des résultats possibles

Le dénombrement correspond au calcul du nombre de résultats de l'univers des possibles lors d'une expérience aléatoire à plusieurs étapes.Lorsque l’expérience est composée, on peut dénombrer les résultats possibles visuellement en utilisant un tableau ou un arbre des possibilités. Il est aussi possible d'utiliser le principe de multiplication. Il existe aussi trois autres méthodes plus spécifiques vues au secondaire: les permutations, les arrangements et les combinaisons.


Dénombrement avec l'arbre des possibilités

L'une des méthodes pour organiser les possibilités est l’utilisation d’un arbre des possibilités. Cet arbre peut être utilisé peu importe le nombre d’étapes contenues dans l’expérience.

On place chacun des résultats possibles de la première étape sur une branche qui débute à un point de départ donné. À partir de l’extrémité de chacune des branches ainsi tracées, on place chacun des résultats possibles de la seconde étape sur des nouvelles branches. On procède de la même manière pour chaque étape supplémentaire.

On fait tourner deux roulettes. Les chiffres 1 à 3 représentent différentes sections de la première roulette alors que les lettres A à C représentent les sections de la seconde roulette. Quel est l’univers des possibles ?



Cette expérience comporte deux étapes : tourner la première roulette et tourner la seconde roulette. On inscrit les résultats possibles dans l’arbre.




Il y a donc 9 possibilités.

Ω = {( 1,A ), ( 1,B ), ( 1,C ), ( 2,A ), ( 2,B ), ( 2,C ), ( 3,A ), ( 3,B ), ( 3,C )}

Dénombrement avec un tableau

Il peut être intéressant d’organiser les résultats possibles sous la forme d’un tableau. Comme le tableau est en deux dimensions, cette technique d’organisation des possibilités ne peut être utilisée que lorsque l’expérience comporte deux étapes.

On place les résultats possibles d’une des deux étapes dans la première colonne du tableau et on place les résultats possibles de l’autre étape sur la première ligne du tableau. Il reste à indiquer toutes les possibilités dans le tableau.

On fait tourner deux roulettes. Les chiffres 1 à 3 représentent différentes sections de la première roulette alors que les lettres A à C représentent les sections de la seconde roulette.

Quel est l’univers des possibles?

 

On choisit d’organiser les résultats possibles dans un tableau. On place les résultats possibles de la première roulette dans la première colonne du tableau et les résultats possibles de la seconde roulette sur la première ligne du tableau. On détermine toutes les combinaisons possibles en complétant le tableau.

                                      ABC
1( 1 , A )( 1 , B )( 1 , C )
2( 2 , A )( 2 , B )( 2 , C )
3( 3 , A )( 3 , B )( 3 , C )

Il existe donc neuf possibilités :
Ω = {( 1,A ), ( 1,B ), ( 1,C ), ( 2,A ), ( 2,B ), ( 2,C ), ( 3,A ), ( 3,B ), ( 3,C ) }

Dénombrement avec le principe de multiplication

Si une première étape peut être effectuée de |n_1| manières différentes, puis une deuxième étape peut être effectuée de |n_2| manières différentes, et ainsi de suite jusqu'à la |k^\text{ième}| étape. Alors la suite de toutes ces étapes successives peut être effectuée de ||n_1 \times n_2 \times n_3 \times \dots \times n_k|| manières différentes.

C'est ce que l'on appelle le principe de multiplication.

En regardant dans sa garde-robe, Gitane constate qu'elle possède 5 chandails, 4 pantalons, 6 paires de souliers et 3 sacs à main.

Combien de tenues différentes peut-elle agencer si on admet qu'une tenue comporte 1 chandail, 1 pantalon, 1 paire de souliers et 1 sac à main ?

Pour trouver le nombre de tenues différentes, on peut utiliser le principe de multiplication.

Première étape: On choisit 1 chandail. Il y a 5 choix.
Deuxième étape: On choisit 1 pantalon. Il y a 4 choix.
Troisième étape: On choisit 1 paire de souliers. Il y a 6 choix.
Quatrième étape: On choisit 1 sac à main. Il y a 3 choix.

On multiplie le nombre de choix possibles à chacune des étapes ensemble.
|5 \times 4 \times 6 \times 3 = 360| tenues différentes.

Gitane peut donc agencer 360 tenues différentes.

Avec l'exemple précédent, on convient aisément que faire un arbre des possibilités serait très hasardeux.

Un bocal contient 3 lettres en bois: 1 A, 1 B et 1 C.

On effectue deux piges sans remettre la lettre pigée dans le bocal. Combien y a-t-il de possibilités ?

On peut se faire un arbre de possibilités et ensuite utiliser le principe de multiplication.


Il y a donc |3 \times 2 = 6| possibilités.


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