Mathématique m1342

La notion du OU et du ET en probabilités

Il arrive fréquemment que l'on s'intéresse à la probabilité d'obtenir deux résultats.

Selon l’énoncé du problème, il y a deux calculs possibles :
Si on cherche la probabilité d’un résultat OU d’un autre résultat, on ADDITIONNE les probabilités de chaque résultat possible.

Si l’on cherche la probabilité d’un résultat ET d’un autre résultat, on MULTIPLIE les probabilités de chaque résultat possible.

Lorsque l'on veut obtenir deux résultats sur une même branche dans un arbre de probabilités, on multiplie les probabilités des deux résultats ensemble. C'est un cas de ET.

Si on veut obtenir la probabilité de deux résultats n'étant pas situés sur la même branche, on additionne les probabilités des deux résultats ensemble. C'est un cas de OU.

On lance deux fois une pièce de monnaie.

On veut la probabilité d'obtenir un face suivi d'un pile.

On trace l'arbre de probabilités.


On veut |\mathbb{P} (F \text{ et } P)|.

On regarde donc la deuxième branche de l'arbre et on multiplie les probabilités donnant le résultat (F,P).

|\mathbb{P} (F \text{ et } P) = \displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}|.

Maintenant, on veut la probabilité du résultat précédent ou du résultat (P,F).

On calcule la probabilité du résultat (P,F).

|\mathbb{P} ( P \text{ et } F) = \displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}|

Comme on veut la probabilité de deux résultats situés sur deux branches différentes, on additionne les probabilités.

|\mathbb{P} ((F,P) \text{ ou } (P,F)) = \displaystyle \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}|

OU

On fait tourner deux roulettes. Les chiffres 1 à 3 représentent différentes sections de la première roulette alors que les lettres A à C représentent les sections de la seconde roulette.



On inscrit les probabilités dans un arbre des possibilités. On sait que les trois parties des roulettes sont de taille identique, donc on a la même probabilité d’obtenir 1, 2 ou 3 sur la première roulette et A, B ou C sur la deuxième roulette. On inscrit la fraction 1/3 sur les branches de l’arbre menant à chaque résultat pour chacune des roulettes.



Quelle est la probabilité d’obtenir ( 1 , A ) ou ( 1 , B ) ou ( 1 , C )?

Lorsqu’on utilise la conjonction « ou », les résultats ne peuvent pas se produire en même temps.

Étape 1 : On calcule la probabilité de chaque résultat.

On sait, en observant l’arbre précédent, que la probabilité d’avoir chacun des résultats suivants est 1/9.

Étape 2 : On calcule la somme de chacune des probabilités.

Étape 3 : On réduit la fraction lorsque c’est possible.

On a alors une chance sur trois d’avoir l’une des trois possibilités.

ET

En utilisant les informations de l'exemple précédent:
Quelle est la probabilité d’obtenir un 2 et un B sur les roulettes?

Étape 1 : On détermine la probabilité de chaque résultat.
Probabilité d’obtenir un 2 sur la première roulette :

Probabilité d’obtenir un B sur la deuxième roulette :

Étape 2 : On multiplie les probabilités de chaque résultat.
On a alors 1 chance sur 9 d’avoir le chiffre 2 suivi de la lettre B.

Les vidéos
Les exercices
Les références