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La moyenne (Moy) est une mesure de tendance centrale qui représente le centre d’équilibre d’une distribution.
Il existe 2 types de moyennes.
La moyenne arithmétique correspond à la valeur qu’aurait chaque donnée de la distribution si chaque donnée avait la même valeur. Elle se calcule en faisant la somme de toutes les données et en divisant cette somme par le nombre de données de la distribution. Le calcul se fait différemment selon la façon dont sont présentées les données.
|\text{Moyenne} = \dfrac{\text{Somme de toutes les données}}{\text{Nombre de données}}|
Pour alléger la notation, on peut utiliser différents symboles.
Lorsqu'il est question de la moyenne d'un échantillon, on utilise le symbole |\overline x.|
Lorsqu'on fait référence à la moyenne d'une population, on utilise la lettre grecque |\mu.|
Le calcul de la moyenne arithmétique est le même dans les 2 cas.
Voici le nombre de buts marqués par les Canadiens de Montréal lors de leurs |15| derniers matchs.
|0,| |1,| |3,| |2,| |3,| |1,| |3,| |4,| |5,| |2,| |5,| |1,| |3,| |4,| |2|
Quelle est la moyenne du nombre de buts marqués par les Canadiens lors de leurs |15| derniers matchs?
||\begin{align}\text{Moyenne}&=\dfrac{\left(\begin{alignat}{30}&0&&+1&&+3&&+2&&+3&&+1&&+3&&+4 \\& &&+5&&+2&&+5&&+1&&+3&&+4&&+2\end{alignat}\right)}{15}\\&=\dfrac{39}{15}\\&=2{,}6\ \text{buts/match}\end{align}||
Réponse : Lors des |15| derniers matchs, les Canadiens ont marqué en moyenne |2{,}6| buts par match.
Il est possible de trouver une donnée manquante si on connait la moyenne d’une distribution et toutes les autres données. On peut résoudre ce genre de problème en utilisant la définition de la moyenne.
Pour son bulletin de la 3e étape, Marie-Claude s'est fixé comme objectif d'avoir une moyenne de |85\ \%| en mathématiques. Jusqu'à maintenant, elle a obtenu les résultats suivants : |90\ \%,| |82\ \%| et |81\ \%.|
En considérant que toutes les évaluations ont la même pondération, quel doit être le résultat de Marie-Claude à sa dernière évaluation pour qu'elle atteigne son objectif?
Comme la moyenne est la valeur qu’aurait chaque donnée si chacune avait la même valeur, on peut reformuler et dire que c’est comme si Marie-Claude souhaitait avoir |85\ \%| à chacune de ses |4| évaluations. Ainsi, en additionnant ce |85\ \%| à |4| reprises, on obtient |85\ \% \times 4 = 340\ \%.|
Elle doit donc cumuler un total de |340\ \%| à ses |4| évaluations pour atteindre son objectif. Or, elle a déja reçu |3| résultats : |90\ \%,| |82\ \%| et |81\ \%.| Ainsi, après |3| évaluations, elle a cumulé un total de |90\ \% + 82\ \% + 81\ \% = 253\ \%.| Donc, on peut trouver la valeur manquante en faisant |340\ \% - 253\ \% = 87\ \%.|
Réponse : Marie-Claude a besoin d'une note de |87\ %| pour avoir une moyenne de |85\ \%| à la 3e étape.
Il est également possible de résoudre ce genre de problème en utilisant l’algèbre. Pour cela, il faut remplacer la donnée inconnue par |x| et déterminer sa valeur.
On sait que la moyenne de |5| données est |35,| mais on ne connait que |4| des |5| données, soit |20,| |40,| |45| et |29.|
Quelle est la valeur de la donnée manquante?
On remplace cette donnée manquante par |x| et on utilise la formule de la moyenne arithmétique.||\begin{align} \text{Moyenne} &= \dfrac{\text{Somme de toutes les données}}{\text{Nombre de données}} \\ 35 &= \dfrac{20 + 40 + 45 + 29 + x}{5} \\ 35 &= \dfrac{134+x}{5} \end{align}||Ensuite, on isole |x.|||\begin{align}35\boldsymbol{\color{#ec0000}{\times5}}&=\dfrac{134+x}{5}\boldsymbol{\color{#ec0000}{\times5}}\\175&=134+x\\175\boldsymbol{\color{#ec0000}{- 134}}&=134+x\boldsymbol{\color{#ec0000}{- 134}}\\41&=x\end{align}||
Réponse : La donnée manquante vaut |41.|
Il arrive qu’une distribution contienne les mêmes valeurs qui sont répétées plusieurs fois. Dans ce cas, il est préférable de les regrouper dans un tableau à données condensées. Dans cette situation, la moyenne se calcule de la façon suivante.
|\text{Moyenne} = \dfrac{\text{Somme des produits de chaque valeur par leur effectif}}{\text{Nombre total de données}}|
L'âge de 30 athlètes faisant partie d’une équipe sportive est représenté dans le tableau suivant.
| Âge | |7| | |8| | |9| | |10| |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | |13| | |9| | |6| | |2| |
Quelle est la moyenne d'âge des joueurs de cette équipe?
On remarque que l'âge |7| revient à |13| reprises |(7 \times 13),| l'âge |8| revient à |9| reprises |(8 \times 9),| l'âge |9| est présent |6| fois |(9 \times 6)| et l'âge |10| est présent à |2| reprises |(10 \times 2).|||\begin{align}\text{Moyenne}&= \dfrac{7 \times 13 + 8 \times 9 + 9 \times 6 + 10 \times 2}{13+9+6+2}\\ &= \dfrac{91+72+54+20}{30}\\&=\dfrac{237}{30}\\&= 7{,}9\ \text{ans}\end{align}||
Réponse : L'âge moyen des athlètes de cette équipe est de |7{,}9| ans.