Mathématique m1357

Les identités trigonométriques

​​L'appellation identité trigonométrique est donnée à certaines relations existant entre divers rapports trigonométriques.

Les identités trigonométriques de base

À partir du triangle rectangle, il est possible de définir différents rapports trigonométriques que l'on peut ensuite transposer dans le cercle trigonométrique. Ainsi:

À ces trois rapports, on ajoute les trois suivants qui découlent des trois premiers.

On peut utiliser |\cot| ou |\text{cotan}| pour la cotangente.

À partir de ces rapports, il est possible de calculer leur valeur dans un cercle trigonométrique.


Détermine la valeur de la fonction trigonométrique suivante: |\tan(\frac{2\pi}{3})|.

Détermine la valeur de la fonction trigonométrique suivante : |\sec(\frac{5\pi}{4})|.

Trouver la valeur d'une expression trigonométrique pour un point du cercle qui n'est pas dans l’intervalle |[0,2\pi]|

On peut effectuer plusieurs rotations autour du cercle trigonmétrique. Lorsque l'on veut savoir à quoi correspondrait un angle si on le ramenait dans le cercle, il faut enlever ou ajouter un nombre de rotations pour trouver le point du cercle et évaluer ensuite le rapport trigonométrique demandé.

Voici les étapes à suivre de façon plus détaillée pour évaluer une fonction trigonométrique dont l'angle n'est pas dans l'intervalle |[0,2\pi]|.
1. Calculer le nombre de rotations à retrancher de l’angle donné |t| en divisant cette mesure d’angle par |2\pi| et en conservant la partie entière du résultat obtenu: |\displaystyle N=\left[\frac{t}{2\pi}\right]|.

2. Soustraire de l’angle donné |t|,  l’angle formé par le nombre de rotations précédemment calculé (dont la mesure est donc de | N\cdot2\pi| ): |t'=t-N\cdot2\pi|.

3. Situer le résultat de la soustraction précédente, qui est un nombre compris en |0| et |2\pi|, sur le cercle trigonométrique et indiquer ses coordonnées. On obtient ce point ainsi: |P(\theta)=(\cos(\theta),\sin(\theta))|.

4. Calculer la valeur de la fonction trigonométrique recherchée en utilisant les coordonnées du point trigonométrique précédemment trouvées.

Calculer la valeur de |\text{cosec}(\frac{47\pi}{6})|.

1. Calcul du nombre de rotations


2. Soustraire le nombre de rotations


3. Trouver les coordonnées

Le point |(\frac{47\pi}{6})| coïncide avec le point |P(\frac{11\pi}{6})| de sorte que ses coordonnées sont :


4. Calculer la fonction trigonométrique

Calculer la valeur de |\text{cotan} (-\frac{79\pi}{3})|.

1. Calcul du nombre de rotations


2. Soustraire le nombre de rotations


3. Trouver les coordonnées

Le point |(-\frac{79\pi}{3})| coïncide avec le point |P(\frac{5\pi}{3})| de sorte que ses coordonnées sont :


4. Calculer la fonction trigonométrique

Relation de Pythagore et les identités trigonométriques

Les identités trigonométriques sont des outils précieux pour la simplification d’équations comportant des termes trigonométriques. Ces identités sont souvent utilisées, il peut être utile de les mémoriser.


En voici trois très importantes:

|\cos^2 A + \sin^2 A=1|

|1 + \cot^2A = \text{cosec}^2 A|

|\tan^2 A + 1 = \sec^2 A|

Il est à noter que |\cos^2 \theta = (\cos\theta)^2|, même chose pour les autres rapports trigonométriques.

Autres identités

|\small \begin{matrix}
\sin(A+B)=\sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B &\displaystyle \tan(A-B)=\frac{\tan A - \tan B}{1+\tan A \cdot \tan B} \\
\sin(A-B)=\sin A \cdot \cos B - \cos A \cdot \sin B & \cos(-A)=\cos A \\
\cos(A+B)=\cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin B & \sin(-A)=-\sin A \\
\cos(A-B)=\cos A \cdot \cos B +\sin A \cdot \sin B & \sin(\frac{\pi}{2}-A)=\cos A \\
\displaystyle \tan(A+B)=\frac{\tan A + \tan B}{1-\tan A \cdot \tan B} & \cos(\frac{\pi}{2}-A)=\sin A
\end{matrix}|

Pour les deux expressions ayant un dénominateur, elles seront valides lorsqu'elles auront un dénominateur non nul.

Grâce à ces identités, on peut effectuer une multitude de calculs.

Calculez la valeur exacte de |\sin  (\frac{7\pi}{12})|.

La valeur |\frac{7\pi}{12}| n'étant pas un angle remarquable, on tente alors de la décomposer en une somme ou en une différence d'angles remarquables.

On remarque que:
|\displaystyle \frac{7\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}|.

Ces deux angles étant remarquables, on utilise la formule de la somme pour le sinus:
|\sin(A+B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B| avec |A = \frac{\pi}{4}| et |B = \frac{\pi}{3}|.

|\displaystyle \sin( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3})  = \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \frac{\pi}{3}+ \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin \frac{\pi}{3}|
|= \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}|
|= \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}|
|= \displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}|

Ainsi, |\displaystyle \sin \left(\frac{7\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}|.

Calculez la valeur exacte de |\cos (\frac{8\pi}{3})|.

La valeur |\frac{8\pi}{3}| n'étant pas un angle remarquable, on tente alors de la décomposer en une somme ou une différence d'angles remarquables.

On remarque que:
|\displaystyle \frac{8\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} + \frac{3\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} + \pi|.

Ces deux angles étant remarquables, on utilise la formule de la somme pour le cosinus:
|\cos(A+B) = \cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot B| avec |A = \frac{5\pi}{3}| et |B = \pi|.

|\displaystyle \cos(\frac{5\pi}{3} + \pi) = \cos \frac{5\pi}{3} \cdot \cos \pi - \sin \frac{5\pi}{3} \cdot \sin \pi|
|= \displaystyle \frac{1}{2} \cdot -1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0|
|= \displaystyle - \frac{1}{2} - 0|
|= \displaystyle -\frac{1}{2}|

Ainsi, |\displaystyle \cos \left(\frac{8\pi}{3}\right) = - \frac{1}{2}|.

Note : Ici, il est important de remarquer qu'un angle de |\displaystyle \frac{8\pi}{3}| est au même endroit qu'un angle de |\displaystyle \frac{2\pi}{3}|. Ainsi, |\cos(\frac{8\pi}{3}) = \cos (\frac{2\pi}{3}) = -\displaystyle \frac{1}{2}|.

Calculez la valeur exacte de |\tan (\frac{23\pi}{12})|.

La valeur |\frac{23\pi}{12}| n'étant pas un angle remarquable, on tente alors de la décomposer en une somme ou une différence d'angles remarquables.

On remarque que:
|\displaystyle \frac{23\pi}{12} = \frac{21\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} = \frac{7\pi}{4} + \frac{\pi}{6}|.

Ces deux angles étant remarquables, on utilise la formule de la somme pour la tangente:
|\displaystyle \tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B}| avec |A = \frac{7\pi}{4}| avec |B=\frac{\pi}{6}|.

|\displaystyle \tan( \frac{7\pi}{4} + \frac{\pi}{6}) = \frac{\tan \frac{7\pi}{4} + \tan \frac{\pi}{6}}{1 - \tan \frac{7\pi}{4} \cdot \tan \frac{\pi}{6}}|
|\displaystyle = \frac{-1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - -1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}|
|\displaystyle = \frac{\frac{-3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}|
|=\displaystyle \frac{-3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3+\sqrt{3}}|
|= \displaystyle \frac{-3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}|
On multiplie maintenant par le conjugué du dénominateur, le numérateur et le dénominateur.
|= \displaystyle \frac{-3 + \sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}|
|= \displaystyle \frac{-12 + 6\sqrt{3}}{6}|

Ainsi, |\displaystyle \tan \left(\frac{23\pi}{12}\right) = \frac{-12 + 6\sqrt{3}}{6}|.

Les vidéos
Les exercices
Les références