Mathématique m1359

La représentation d'ensembles de nombres

​​​​​Dans certaines situations, on peut être amené à s'intéresser à un ensemble de nombre précis.

​Un ensemble est un regroupement d'éléments (formes, nombres, mots, etc.) ayant une caractéristique commune, quelle qu'elle soit.

Les ensembles qui seront étudiés dans cette fiche seront des ensembles de nombres uniquement. Voici différents modes de représentations permettant de bien décrire ces ensembles. Ceux-ci sont notamment utilisés dans la représentation de l'ensemble-solution d'une inéquation à une variable.

En extension

Un ensemble est exprimé en extension lorsqu'il est défini par la liste explicite de ses éléments. Ainsi, on doit énumérer, entre accolades, tous les éléments qui font parti de l'ensemble.

Ce mode de représentation se limite aux nombres naturels et aux nombres entiers.

L'ensemble des nombres naturels impairs compris entre |\small 2| et |\small 10|.

En extension, cet ensemble est représenté comme ceci: ||\left\{3,5,7,9\right\}||

Il est parfois trop long ou impossible d'écrire tous les éléments d'un ensemble. Dans ces cas, on utilise les points de suspension.
|\tiny \bullet| L'ensemble des nombres naturels plus grand ou égal à |\small 5|. ||\left\{5,6,7,8,9,10,11,\color{blue}{\ldots}\right\}||
|\tiny \bullet| L'ensemble des nombres entiers négatifs.
||\left\{\color{blue}{\ldots}\text{-}6,\text{-}5,\text{-}4,\text{-}3,\text{-}2,\text{-}1,0\right\}||
|\tiny \bullet| L'ensemble des multiples de |\small 4| compris entre |\small 3| et |\small 101|. ||\left\{4,8,12,\color{blue}{\ldots},92,96,100\right\}||

En intervalle

Un ensemble est exprimé en intervalle lorsqu'il est défini par les nombres entre lesquels l'ensemble est compris. Ces nombres sont appelés les bornes de l'intervalle.

Un intervalle est exprimé à l'aide de crochets (|\small [\ ,\ ]|).

|\tiny \bullet| Si le crochet est tourné vers l'intérieur, la borne est incluse dans l'intervalle.

|\tiny \bullet| Si le crochet est tournée vers l'extérieur, la borne est excluse de l'intervalle. 

|\tiny \bullet| Si l'ensemble de nombre se poursuit jusqu'à l'infini positif ou l'infini négatif, on utilisera respectivement les symbole |\infty| ou |-\infty| pour représenter la borne en question. Le crochet d'un borne infinie doit toujours être tourné vers l'extérieur.

Ce mode de représentation se limite aux nombres réels uniquement.

L'ensemble des nombres réels allant de |\small \text{-}1| inclus à |\small 24| exclu.

En intervalle, cet ensemble est représenté comme ceci: ||\left[\:\text{-}1,24\:\right[|| Ici, les bornes de l'intervalle sont |\small \text{-}1| et |\small 24|. On remarque que, comme |\small \text{-}1| est inclus dans l'ensemble, le crochet est tourné vers l'intérieur. Étant donné que |\small 24| est exclu de l'ensemble, son crochet est, pour sa part, tourné vers l'extérieur.

Voici maintenant des exemples d'ensembles de nombres réels représentés en intervalle dont l'une ou l'autre des bornes est infinie.

|\tiny \bullet| L'ensemble des nombres réels positifs. ||\left[\:0,\infty\:\right[||
|\tiny \bullet| L'ensemble des nombres réels plus petit ou égal à |\small 12|. ||\left]\:\text{-}\infty,12\:\right]||
Comme il s'agit des nombres plus petit ou égal à |\small 12|, la borne |\small 12| est incluse dans l'intervalle.
|\tiny \bullet| L'ensemble des nombres réels supérieur à |\small 3|. ||\left]\:3,\infty\:\right[||
Comme il s'agit des nombres supérieurs à |\small 3|, la borne |\small 3| est excluse de l'intervalle.

En compréhension

Un ensemble est exprimé en compréhension lorsqu'il est défini par ses propriétés caractéristiques. On indique habituellement, entre accolades,  l'ensemble de nombres dans lequel ses éléments sont compris suivi des caractéristiques des éléments. Le trait vertical « |\mid| » séparant les propriétés caractéristiques se lit «tel que».

L'ensemble des nombres naturels multiples de |\small 7|.

En compréhension, cet ensemble est représenté comme ceci: ||\left\{x\in\mathbb{N}\mid x \text{ est un multiple de }7\right\}||

Voici d'autres exemples.

|\tiny \bullet| L'ensemble des nombres entiers plus grand que |\small 33|.
||\left\{x\in\mathbb{Z}\mid x > 33 \right\}||
|\tiny \bullet| L'ensemble des nombres réels compris entre |\small 6| et |\small 42| inclusivement.
||\left\{x\in\mathbb{R}\mid 6 \leq x \leq 42 \right\}||
|\tiny \bullet| L'ensemble des nombres réels plus grand que |\small \text{-}20| et plus petit ou égal à |\small 7|.
||\left\{x\in\mathbb{R}\mid \text{-}20 < x \leq 7 \right\}||

La droite numérique

Lorsqu'on représente des ensembles de nombres naturels ou entiers sur la droite numérique, on représente les éléments par des points pleins.
|\tiny \bullet| L'ensemble des nombres naturels diviseurs de |\small 12|.
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|\tiny \bullet| L'ensemble des nombres entiers plus petit ou égal à |\small 1|.
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Lorsqu'on représente des ensembles de nombres réels sur la droite numérique, on représente l'ensemble par une ligne délimitée par les bornes de l'ensemble.
|\tiny \bullet| Si la borne est incluse dans l'intervalle, ont la représente par un point plein.

|\tiny \bullet| Si la borne est excluse de l'intervalle, ont le représente par une point ouvert.

L'ensemble des nombres réels allant de |\small \text{-}4| inclus à |\small 2| exclu.

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On remarque que, comme la borne |\small \text{-}4| est incluse dans l'ensemble, elle est représentée par un point plein. Étant donné que |\small 2| est exclu de l'ensemble, la borne est représentée par un point vide.

Lorsque l'une ou l'autre des bornes est infinie, on ne la représente pas sur la droite numérique. On prolonge simplement la ligne comme si elle continuait hors de la droite numérique.

|\tiny \bullet| L'ensemble des nombres réels inférieurs à |\small 3|.

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|\tiny \bullet| L'ensemble des nombres plus grand ou égal à |\small 1|.

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