Mathématique m1384

La mise en évidence simple

La mise en évidence simple est un procédé qui permet de décomposer un polynôme en deux facteurs, l'un étant un monôme et l'autre un polynôme.

La mise en évidence simple permet de mettre en évidence un facteur qui est commun à tous les termes d'un polynôme. Elle s’appuie sur la propriété de la distributivité de la multiplication sur l’addition et la soustraction. 

Avant de décrire les étapes de la mise en évidence simple, il est important de bien maitriser la notion de plus grand facteur commun. En effet, la recherche du plus grand facteur commun constitue l'étape préalable à la réalisation de la mise en évidence simple.

Le plus grand facteur commun

Pour trouver le plus grand facteur commun, on doit :
1. Trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) des coefficients de chacun des termes et du terme constant (s'il y a lieu).
2. Cibler les variables communes à chacun des termes.
3. Identifier le plus petit exposant pour chaque variable ayant été ciblée.
4. Faire la multiplication entre le PGCD et les variables communes affectées de leur plus petit exposant.


 


Soit le polynôme |30x^6y^3z + 15x^4y^4z^4+20xy^2|.

1. Trouver le PGCD des coefficients de chacun des termes.  
Le plus grand commun diviseur de |30|, |15| et |20| est : ||PGCD(10,15)=5|| 2. Cibler les variables communes à chacun des termes. 
Les variables |x| et |y| sont les seules variables présentes dans cette expression qui sont communes aux 3 termes.

3. Identifier le plus petit exposant pour chaque variable ciblée. 
Le plus petit exposant de |x| dans cette expression est |1|. ||x^1=x||Le plus petit exposant de |y| dans cette expression est |2|. 

4. Faire la multiplication entre le PGCD et les variables communes affectées de leur plus petit exposant.
Le plus grand facteur commun de ce polynôme est donc |5xy^2|.


La mise en évidence simple

Pour réaliser une mise en évidence simple, on doit :

1. Trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) des coefficients de chacun des termes et du terme constant (s'il y a lieu).
2. Identifier le plus petit exposant pour chacune des variables communes. 
3. Déterminer le premier facteur (plus grand facteur commun).
4. Déterminer le deuxième facteur en divisant tous les termes du polynôme par le premier facteur. 


 


La mise en évidence simple est toujours la première opération à effectuer lorsqu’on factorise un polynôme.

Soit le polynôme |10x^2 + 15x|.

1. Trouver le PGCD des coefficients de chacun des termes.  
Le plus grand commun diviseur de |10| et |15| est |5| : ||PGCD(10,15)=5|| 2. Identifier le plus petit exposant pour chacune des variables communes. 
La variable |x| est la seule variable présente dans cette expression et elle est commune aux 2 termes. Le plus petit exposant de |x| dans cette expression est |1|. ||x^1=x|| 3. Déterminer le premier facteur. 
Le plus grand facteur commun de ce polynôme est donc |5x|. 

4. Déterminer le deuxième facteur en divisant tous les termes du polynôme par le premier facteur. ||\begin{align}10x^2+15x&=\left(\text{premier facteur}\right) \left(\text{deuxième facteur}\right)\\ &=5x \left(\text{deuxième facteur}\right)\\ &=5x \left(\frac{10x^2+15x}{5x}\right)\\ &=5x\ (2x+3) \end{align}|| On obtient alors ||5x (2x+3)||.

 

Soit le polynôme |8x^3 + 4x^{2}y + 16x^2|

1. Trouver le PGCD des coefficients de chacun des termes.  
Le plus grand commun diviseur de |8|, |4| et |16| est |4| : ||PGCD(8,4,16)=4|| 2. Identifier le plus petit exposant pour chacune des variables communes. 
La variable |x| est la seule commune à tous les termes du polynôme. Le plus petit exposant de |x| dans cette expression est |2|. 

3. Déterminer le premier facteur. 
Le plus grand facteur commun de ce polynôme est donc |4x^2|. 

4. Déterminer le deuxième facteur en divisant tous les termes du polynôme par le premier facteur. ||\begin{align}8x^3+4x^2y+16x^2&=\left(\text{premier facteur}\right) \left(\text{deuxième facteur}\right)\\ &=4x^2 \left(\text{deuxième facteur}\right)\\ &=4x^2 \left(\frac{8x^3+4x^2y+16x^2}{4x^2}\right)\\ &=4x^2\ (2x+y+4) \end{align}|| On obtient alors : ||4x^2(2x+y+4)||

 

On peut développer les facteurs obtenus lors de la mise en évidence simple pour vérifier s'ils sont équivalents avec le polynôme de départ.

Validation du premier exemple :
||5x(2x+3)\overset{?}{=} 10x^2+15x|| On applique la distributivité : ||\begin{align}5x(2x+3)&\overset{?}{=} 10x^2+15x\\ (5x\times 2x)+(5x\times 3)&\overset{?}{=} 10x^2+15x\\ 10x^2+15x&=10x^2+15x\end{align}|| On constate que le polynôme obtenu est bien équivalent au polynôme de départ, ce qui confirme que la factorisation a bien été effectuée.

Les vidéos
Les exercices
Les références