Mathématique m1384

La mise en évidence simple

La mise en évidence simple est un procédé qui permet de décomposer un polynôme en deux facteurs, l'un étant un monôme et l'autre un polynôme.

La mise en évidence simple permet de mettre en évidence un facteur qui est commun à tous les termes d'un polynôme. Elle s’appuie sur la propriété de la distributivité de la multiplication sur l’addition et la soustraction.

Pour réaliser une mise en évidence simple, on doit :

1. Repérer le plus grand facteur commun (PGCD) à tous les termes d'un polynôme.

2. Mettre ce facteur en évidence en divisant chacun des termes du polynôme par le plus grand facteur commun.


La mise en évidence simple est toujours la première opération à effectuer lorsqu’on factorise un polynôme.

Soit le polynôme suivant:
|10x^2 + 15x|

1. Repérer le plus grand facteur commun:

Le plus grand facteur commun des coefficients est |5|. Pour les variables, |x| est commun aux deux termes et son plus petit exposant est |1|.

Le facteur mis en évidence sera donc |5x|.

2. Diviser tous les termes du polynôme par le plus grand facteur commun:

|\begin{eqnarray*} \displaystyle \frac{10x^{2}+15x}{5x}

&=&  \frac{10x^{2}}{5x}+\frac{15x}{5x} \\
&=&
2x + 3
\end{eqnarray*}|
Réponse:
Lors de la mise en évidence simple, on obtient |5x (2x+3)|.

 

Soit le polynôme suivant:
|8x^3 + 4x^{2}y + 16x^2|

1. Repérer le plus grand facteur commun:

Le plus grand facteur commun des coefficients est |4|. Pour les variables, |x| est commun aux trois termes et son plus petit exposant est |2|.

Le facteur mis en évidence sera donc |4x^2|.

2. Diviser tous les termes du polynôme par le plus grand facteur commun:

|\begin{eqnarray*}\displaystyle \frac{8x^3 + 4x^{2}y + 16x^2}{4x^2}

&=& \frac{8x^3}{4x^2} + \frac {4x^{2}y}{4x^2} + \frac {16x^2}{4x^2} \\

&=& 2x + y + 4 \end{eqnarray*}|
Réponse:
Lors de la mise en évidence simple, on obtient |(4x^2)(2x + y + 4)|.

 

On peut développer les facteurs obtenus lors de la mise en évidence simple pour vérifier s'ils sont équivalents avec le polynôme de départ.

Validation du premier exemple:
|5x (2x+3)|

On applique la distributivité. On obtient donc:
|(5x\cdot {2x}) + (5x \cdot 3)|
|10x^{2} + 15x|

On constate que le polynôme obtenu est équivalent à celui de départ.

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