Mathématique m1415

Les procédures de vote

​Une procédure de vote consiste à déterminer à partir d'une méthode le vainqueur ou le gagnant du vote.
Les procédures de vote sont des outils qui permettent de prendre des décisions dans un contexte de choix social. Elles sont utilisées pour élire un vainqueur parmi des candidats au moment d'une élection. Il y a différentes procédures de vote. Celles-ci seront illustrées à partir de situations similaires.

Règle de la majorité

Le candidat qui obtient plus de la moitié des votes, c'est-à-dire la majorité absolue, est vainqueur.

On nomme aussi cette méthode le scrutin à la majorité. Cette méthode a l'avantage d'être simple et rapide à mettre en oeuvre. Toutefois, elle peut engendrer l'élection d'un candidat qui déplaît à une partie de l'électorat, mais celle-ci sera toujours inférieure à 50%.

Les élèves de secondaire 5 d'une école ont voté pour leur activité préférée parmi quatre activités hivernales. Le tableau suivant présente les résultats du vote.

Activité Votes recueillis
Planche à neige109
Ski alpin147
Luge23
Patin66

Selon la règle de la majorité, aucune activité ne remporte le vote. Pour remporter le vote, une activité aurait dû recueillir 173 votes ou plus (sur 345).

Règle de la pluralité

Le candidat qui remporte le plus grand nombre de votes, c'est-à-dire la majorité relative, est vainqueur.

On nomme aussi cette méthode le scrutin à la pluralité. Cette méthode a l'avantage d'être simple et rapide à mettre en oeuvre. Toutefois, elle peut engendrer l'élection d'un candidat qui déplaît à une grande partie de l'électorat.

Les élèves de secondaire 5 d'une école ont voté pour leur activité préférée parmi quatre activités hivernales. Le tableau suivant présente les résultats du vote.

Activité Votes recueillis
Planche à neige109
Ski alpin147
Luge23
Patin66

Selon la règle de la pluralité, le ski alpin remporte le vote, car cette activité a recueilli le plus grand nombre de votes.

Méthode de Borda

Chaque électeur classe les candidats par ordre de préférence. S'il y a n candidats, n points sont attribués au 1er choix de chaque électeur, n-1 points au 2e choix, et ainsi de suite pour n'accorder qu'un seul point par vote de dernière position. Le candidat qui obtient le plus grand nombre de points est vainqueur.

Cette méthode offre l'avantage de nuancer l'interprétation des résultats d'un vote. De plus, elle permet de choisir un candidat bénéficiant généralement d'un haut degré de satisfaction de l'électorat. Toutefois, elle est complexe à mettre en oeuvre.

Le tableau suivant présente les préférences des élèves de secondaire 5 d'une école pour l'attribution du titre de l'enseignant le plus gentil de l'école.

Choix 121 élèves 73 élèves 42 élèves
1er choixM. PoulinMme DroletM. Gauthier
2e choixM. GauthierM. GauthierMme Drolet
3e choixMme DroletM. PoulinM. Poulin

Si on utilise la méthode de Borda, étant donné que la lutte se fait entre trois candidats, on attribue à chacun 3 points pour un vote de premier choix, 2 points pour un vote de deuxième choix et 1 point pour un vote de troisième choix.

La tableau suivant présente le nombre de points recueillis par les candidats.

Candidat Points recuillis
M. Poulin 478 points=(121•3 + 73•1 + 42•1)
Mme Drolet 424 points=(121•1 + 73•3 + 42•2)
M. Gauthier 514 points=(121•2 + 73•2 + 42•3)

Donc, selon la méthode de Borda, c'est M. Gauthier qui est l'enseignant le plus gentil de l'école puisque c'est lui qui obtient le plus de points.

Principe de Condorcet

Chaque électeur classe les candidats par ordre de préférence. Pour l'emporter, un candidat doit défaire les autres candidats dans une confrontation "un à un".

On compare les candidats en relevant le nombre de votes obtenus par duel.

Le vainqueur est la personne qui a remporté ses duels contre les autres candidats.

Cette méthode offre l'avantage de nuancer l'interprétation des résultats d'un vote. De plus, elle permet de choisir un candidat bénéficiant généralement d'un haut degré de satisfaction de l'électorat. Toutefois, elle est complexe à mettre en oeuvre.

Le tableau suivant présente les préférences des élèves de secondaire 5 d'une école pour l'attribution du titre de l'enseignant le plus gentil de l'école.

Choix 121 élèves 73 élèves 42 élèves
1er choixM. PoulinMme DroletM. Gauthier
2e choixM. GauthierM. GauthierMme Drolet
3e choixMme DroletM. PoulinM. Poulin

- 115 élèves (73+42) préfèrent Mme Drolet à M. Poulin alors que 121 élèves préfèrent M. Poulin à Mme Drolet. M. Poulin est donc vainqueur de ce duel.

- 115 élèves (73+42) préfèrent M. Gauthier à M. Poulin alors que 121 élèves préfèrent M. Poulin à M. Gauthier. M. Poulin est donc vainqueur de ce duel.

- 163 (121+42) préfèrent M. Gauthier à Mme Drolet alors que 73 élèves préfèrent Mme Drolet à M. Gauthier. M. Gauthier est donc vainqueur de ce duel.

Ainsi, selon le principe de Condorcet, c'est M. Poulin qui est l'enseignant le plus gentil de l'école.

Vote par élimination

Pour l'emporter, le candidat doit obtenir une majorité absolue de votes (soit plus de la moitié des votes). Si ce n'est pas le cas, on procède de la façon suivante:

À la première étape, on élimine le candidat ayant obtenu le moins de votes le désignant comme 1er choix et on attribue ses votes au candidat qui le suit.

À la deuxième étape, on procède à un nouveau comptage pour désigner la première place. Si un candidat obtient alors la majorité des votes, il est vainqueur. Sinon, on recommence la procédure à partir de la première étape.

Le vote par élimination est aussi appelé vote préférentiel.

Le tableau suivant présente les préférences des élèves de secondaire 5 d'une école pour l'attribution du titre de l'enseignant le plus gentil de l'école.

Choix 112 élèves 73 élèves 42 élèves
1er choixM. PoulinMme DroletM. Gauthier
2e choixM. GauthierM. GauthierMme Drolet
3e choixMme DroletM. PoulinM. Poulin

Si on utilise le vote par élimination, on observe d'abord que personne ne recueille plus de la moitié des votes de premier choix.

Ensuite, il faut donc éliminer M. Gauthier, car il a reçu le moins de votes de premier choix, soit 42 votes.
​Choix112 élèves​73 élèves​42 élèves​
​1er choix
​M. Poulin
​Mme Drolet
​M. Gauthier
​2e choix
​M. Gauthier
​M. Gauthier
​Mme Drolet
​3e choix
​Mme Drolet
​M. Poulin
​M. Poulin

Les votes de premier choix de M. Gauthier sont donc attribués à Mme Drolet, car c'est elle qui arrive en deuxième place dans cette liste de préférences. Après la redistribution, M. Poulin détient toujours 112 votes de premier choix tandis que Mme Drolet en compte maintenant 115 (73+42).

Ainsi, selon le vote par élimination, c'est Mme Drolet qui est l'enseignante la plus gentille de l'école.

Vote par assentiment

Chaque électeur vote une seule fois, mais pour autant de candidats qu'il le désire. Le candidat qui obtient le plus grand nombre de votes est vainqueur.

 

Lors d'une élection, quatre candidats se présentent : Julien, Simon, Émilie et Claudine. Chaque électeur peut voter pour plus d'un candidat s'il le désire. Voici les résultats du vote.

Nombre d'électeurs qui ont voté
pour ce ou ces candidat(s)
45 32 28 23
                                   JulienSimonJulienJulien
                                  ÉmilieClaudineSimon       
                                   ÉmilieClaudine       

Ainsi, Julien a obtenu 96 votes (45+28+23), Simon a obtenu 60 votes (32+28), Claudine a obtenu 60 votes (32+28) et Émilie a obtenu 77 votes (45+32).

Selon le vote par assentiment, Julien remporte les élections.

Scrutin proportionnel

Le poids décisionnel est réparti entre les choix possibles proportionnellement au nombre de votes obtenus.

Le scrutin proportionnel prend en compte chaque vote dans l'attribution des sièges. De plus, il répartit les élus en traduisant assez fidèlement la volonté de l'électorat. Par contre, cette méthode a le désavantage de créer plus souvent des situations de gouvernement minoritaire. La nécessité de former des coalitions peut alors ralentir les prises de décision.

Dans une ville, on décide d'attribuer 10 sièges sur le conseil municipal. Trois partis se présentent aux élections. Voici les résultats du vote.

PartiVotes recueillis
A15 235
B23 429
C2893
Total41 557

Le nombre de sièges attribués à chaque parti peut se calculer de la façon suivante.

Parti A : |\frac{15235}{41557}\times10\approx3,67|
Donc, le parti A aura au moins 3 sièges.


Parti B : |\frac{23429}{41557}\times10\approx5,64|
Donc, le parti B aura au moins 5 sièges.


Parti C : |\frac{2893}{41557}\times10\approx0,7|
Donc, le parti C n'aura pas de sièges dès le départ.


Ainsi, on attribue déjà 8 sièges (3 au parti A et 5 au parti B). Les 2 autres sièges sont attribués en plaçant les restes (les décimales) en ordre croissant. Le parti C (0,7) aura un siège et le parti A (0,67) aura le dernier siège.

Donc, selon le scrutin proportionnel, le parti A a 4 sièges, le parti B en aura 5 et le parti C n'en aura qu'un seul.


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