Mathématique m1421

Les critères de divisibilité

​​La divisibilité est une propriété qui indique qu'un nombre peut être entièrement divisé par un autre nombre, c'est-à-dire sans reste.

|54\div 6=9 \text{ reste}\ 0|, donc |54| est divisible par |6|.

|22\div 5=4 \text{ reste}\ 2|, donc |22| n'est pas divisible par |5|.
Il existe des critères qui permettent de déterminer rapidement si un nombre est divisible par un nombre donné. On appelle ces critères les critères de divisibilité.


La tableau qui suit donne une liste des principaux critères de divisibilité

Un nombre est divisible par... si ...
|2|le chiffre des unités est pair.
|3|la somme de tous les chiffres du nombre est divisible par |\small 3|.
|4|le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par |\small 4|. Les chiffres se terminant par |\small {00}| sont aussi divisibles par |\small 4|.
|5|le chiffre des unités est |\small 0| ou |\small 5|.
|6|

le nombre est divisible à la fois par |\small 2| et par |\small 3|.

|8|

le nombre formé de ses trois derniers chiffres est divisible par |\small 8|.

|9|

la somme de ses chiffres est divisible par |\small 9|.
|10|le dernier chiffre est |\small 0|.
|12|le nombre est divisible à la fois par |\small 3| et par |\small 4|.
|25|le nombre se termine par |\small 00|, |\small 25|, |\small 50| ou |\small 75|.

Il est important de savoir qu'il existe d'autres critères de divisibilité.

La divisibilité par |2|

Critère de divisibilité par |2|

1. Observer le chiffre à la position des unités.

2.
Vérifier s'il est pair.

3. Si ce chiffre est pair, alors tout le nombre est divisible par |2|.
|10\ 256| est-il divisible par |2|?  
 

1. Le chiffre à la position des unités est |6|.

2. |6| est un nombre pair.

3. Alors |10\ 256| est divisible par |2|.

La divisibilité par |3|

Critère de divisibilité par |3|
                                           

1. Additionner tous les chiffres du nombre.

2. Vérifier si cette somme est divisible par |3|.

3. Si la somme est divisible par |3|, alors le nombre est aussi divisible par |3|.
|261| est-il divisible par |3|?

1. |2+6+1=\color{red}{9}|

2. |\color{red}{9}| est divisible par |3|. |\left(9\div 3=3\right)|

3. Alors |261| est divisible par |3|.

La divisibilité par |4|

Critère de divisibilité par |4|

1. Observer le nombre formé par les deux derniers chiffres (dizaines et unités).

2. Vérifier si ce nombre est divisible par |4| ou s'il correspond à |00|.

3. Si ce nombre est divisible par |4| ou s'il est |00|, alors le nombre d'origine est divisible par |4|.
|12\ 524| est-il divisible par |4| ?

1. Le nombre formé par les deux derniers chiffres de |12\ 524| est |\color{red}{24}|.

2. |\color{red}{24}| se divise par |4|. |\left(24\div 4=6\right)|

3. Alors |12\ 254| est divisible par |4|.

La divisibilité par |5|

Critère de divisibilité par |5|

1. Observer le chiffre à la position des unités.

2. Si le chiffre des unités est |0| ou |5|, alors le nombre se divise par |5|.
|325\ 465| est-il divisible par |5| ?

1. Le chiffre à la position des unités est |\color{red}{5}|.

2. Puisque le chiffre des unités est |\color{red}{5}|, alors |325\ 465| est divisible par |5|.

La divisibilité par |6|

Critère de divisibilité par |6|

1. Vérifier si le nombre est divisible par |2|
(si le nombre est pair).                    
                                                 
2. Vérifier si le nombre est divisible par |3|
(la somme des chiffres est divisible par |3|).                                             


3. Si le nombre est divisible par |2| et par |3|, alors le nombre est divisible par |6|.
|5\ 364| est-il divisible par |6| ?

1. Le dernier chiffre est pair |\left(\color{red}{4}\right)|, alors le nombre est divisible |2|.

2. En additionnant tous les chiffres du nombre on obtient |5+3+6+4=\color{red}{18}|.
|\color{red}{18}| est divisible par |3|, alors le nombre est divisible par |3|.

3. Puisque |5\ 364| se divisie par |2| et par |3|, il est divisible par |6|.

La divisibilité par |8|

Critère de divisibilité par |8|

1. Observer le nombre formé par les trois derniers chiffres (centaines, dizaines et unités).                    
                                               
2. Vérifier si ce nombre est divisible par |8|.                           

3. Si ce nombre est divisible par |8|, alors le nombre d'origine est aussi divisible par |8|.
|10\ 168| est-il divisible par |8| ?

1. Le nombre formé par les trois derniers chiffres est |168|.


2. |168| se divise par |8|. |\left(168\div 8=21\right)|


3. Alors |10\ 168| est divisible par |8|.

La divisibilité par |9|

Critère de divisibilité par |9|

1. Faire la somme des tous les chiffres du nombre.                                 

2. Vérifier si cette somme est divisible par |9|.

3. Si la somme est divisible par |9|, alors le nombre d'origine est divisible par |9|.
|3\ 159| est-il divisible par |9| ?

1. |3+1+5+9=\color{red}{18}|


2. |\color{red}{18}| est divisible par |9|. |\left(18\div 9=2\right)|

3. Alors |3\ 159| est divisible par |9|.

La divisibilité par |10|

Critère de divisibilité par |10|.

1. Observer le dernier chiffre du nombre (position des unités).

2. Si ce chiffre est |0|, alors le nombre est divisible par |10|.
|125\ 890| est-il divisible par |10| ?

1. Le dernier chiffre est |0|.


2. Puisque ce chiffre est |0|, alors |125\ 890| est divisible par |10|.

La divisibilité par |12|

Critère de divisibilité par |12|

1. Vérifier si le nombre est divisible par |3|.
            
                                     

                            
2. Vérifier si le nombre est divisible par |4|.



3.
Si le nombre est divisible à la fois par |3| et par |4|, alors le nombre est divisible par |12|.
|216| est-il divisible par |12| ?

1. En additionnant tous les chiffres du nombre on obtient |2+1+6=\color{red}{9}|.
|\color{red}{9}| est divisible par |3|, alors |216| est aussi divisible par |3|.

2. Le nombre formé par les deux derniers chiffres est |16|. Comme ce nombre est divisible par |4|, |216| est aussi divisible par |4|.

3. Alors, |18\ 384| est divisible par |12|.

La divisibilité par |25|

Critère de divisibilité par |25|

1. Observer les deux derniers chiffres du nombre d'origine (dizaines et unités)

2. Si les deux derniers chiffres sont |00|, |25|, |50| ou |75|, alors le nombre d'origine est divisible par |25|.
|2\ 575| est-il divisible par |25| ?

1. Les deux derniers chiffres de |2\ 575| sont |75|.

2. Puisque les deux derniers chiffres sont |75|, alors |2\ 575| est divisible par |25|.

Autres critères de divisibilité:

|\bullet| Divisibilité par |7|:
Un nombre est divisible par |7| si son nombre de dizaines moins deux fois le chiffre à la position des unités est divisible par |7|.
Le nombre |294| est-il divisible par |7|?

Nombre de dizaines: |29|
Chiffre des unités: |4|

|29 - (2\times 4) = 21|

|21| est divisible par |7|. |\left(21\div7=3\right)|
Donc |294| est divisible par |7|.
|\bullet| Divisibilité par |11|:
Un nombre est divisible par |11| si la différence entre la somme des chiffres situés aux positions impaires (unités, centaines,...) et la somme des chiffres situés aux positions paires (dizaines, unités de milles,...) est divisible par |11|:
Exemple 1:
Le nombre |495| est-il divisible par |11|?

Somme des chiffres situés aux positions impaires: |4+5=9|
Somme des chiffres situés aux positions paires: |9=9|
Différence entre les deux sommes: |9-9=0|

Comme |0| est divisible par tous nombres (particulièrement par |11|), |495| est aussi divisible par |11|.

Exemple 2:
Le nombre |10\ 989| est-il divisible par |11|?

Somme des chiffres situés aux positions impaires: |1+9+9=19|
Somme des chiffres situés aux positions paires: |0+8=8|
Différence entre les deux sommes: |19-8=11|

Comme |11| est divisible par |11|, |10\ 989| est aussi divisible par |11|.

|\bullet| Divisibilité par |13|:
Un nombre est divisible par |13| si son nombre de dizaines plus quatre fois le chiffre des unités est divisible par |13|.
Le nombre |117| est-il divisible par |13|?

Nombre de dizaines: |11|
Chiffre des unités: |7|

|11 + (4\times 7) = 39|

|39| est divisible par |13|. |\left(39\div13=3\right)|
Donc |117| est divisible par |13|.

|\bullet| Divisibilité par |14|:
Un nombre est divisible par |14| s'il est divisible à la fois par |2| et par |7|.

|\bullet| Divisibilité par |15|:
Un nombre est divisible par |15| s'il est divisible à la fois par |3| et par |5|.

|\bullet| Divisibilité par |20|:
Un nombre est divisible par |20| si le nombre formé de ses deux derniers chiffres (dizaines et unités) est divisible par |20|.

|\bullet| Divisibilité par |100|:
Un nombre est divisible par |100| s'il se termine par |00|.

Les vidéos
Les exercices
Les références