Mathématique m1452

Les méthodes générales de résolution d'équations

La résolution d'équations est la démarche qui permet de déterminer la ou les valeurs d'une inconnue qui valident l'équation.

Pour résoudre une équation, il est possible d'utiliser différentes méthodes générales:

La méthode de la balance

La méthode de la balance consiste à isoler la variable dans un des membres de l'équation en utilisant les règles de transformations des équations.

Comme les plateaux d'une balance à l'équilibre, les règles de transformations des équations permettent de transformer celle-ci en gardant les deux membres de l'équation.

On cherche la valeur de |x| dans l'équation suivante: |2x + 5 = x + 7|.

1. Pour éliminer le terme algébrique |x| du membre de droite, on le soustrait aux deux membres de l'équation.
|2x + 5 \color{red}{- x} = x + 7 \color{red}{- x}|
|x + 5 = 7|

2. Pour isoler |x| dans le membre de gauche, on soustrait |5| aux deux membres de l'équation.
|x + 5 \color{red}{- 5} = 7 \color{red}{- 5}|
|x = 2|

On peut conclure que |x = 2|.

 

On cherche la valeur de |x| dans l'équation suivante: |\displaystyle \frac{3x}{4} - 2,5 = 2,3|.

1. Pour isoler le terme |\displaystyle \frac{3x}{4}| dans le membre de gauche, on additionne |2,5| aux deux membres de l'équation.
|\displaystyle \frac{3x}{4} - 2,5 \color{red}{+ 2,5} = 2,3 \color{red}{+ 2,5}|
|\displaystyle \frac{3x}{4} = 4,8|

2. Pour isoler le terme |3x| dans le membre de gauche, on multiplie par |4| les deux membres de l'équation.
|\displaystyle \frac{3x}{4}\color{red}{\times 4} = 4,8\color{red}{\times 4}|
|3x = 19,2|

3. Pour isoler |x| dans le membre de gauche, on divise par |3| les deux membres de l'équation.
|3x \color{red}{\div 3}= 19,2 \color{red}{\div 3}|
|x = 6,4|

On peut conclure que |x = 6,4|.

La méthode des opérations inverses

La méthode des opérations inverses consiste à isoler la variable inconnue en effectuant sur un des membres de l'équation les opérations inverses de celles effectuées sur l'autre membre de l'équation.

Lorsqu'on applique la méthode des opérations inverses, on procède à l'envers de l'ordre à respecter lorsqu'on applique la priorité des opérations.

On cherche la valeur de |x| dans l'équation suivante: |\displaystyle \frac{2x}{3} - 16 = -6|.

1. On transforme les opérations de l'équation en opérations inverses ainsi que le sens dans lequel les opérations doivent être effectuées.
|x \to \times 2 \to \div 3 \to - 16 = -6|
|x = \div 2 \leftarrow \times 3 \leftarrow + 16 \leftarrow -6|

2. On effectue les opérations de droite à gauche.
|x = \div 2 \leftarrow \times 3 \leftarrow \color{red}{(+ 16 \leftarrow -6)}|
|x = \div 2 \leftarrow \color{red}{(\times 3 \leftarrow + 10)}|
|x = \color{red}{(\div 2 \leftarrow 30)}|
|x = 15|

On peut conclure que |x = 15|.

La méthode du recouvrement (ou du terme caché)

La méthode du recouvrement, aussi nommé méthode du terme caché, consiste à masquer un terme algébrique afin de chercher la valeur de ce terme caché par la suite.

La méthode du recouvrement peut être appliquée en utilisant la démarche suivante:

  1. Recouvre la partir de l'opérateur dont tu ne connais pas la valeur.
  2. Refais l'étape 1, mais pour la partie que tu as recouvrée au cours de cette étape.
  3. Refais l'étape 2, mais pour la partie que tu as recouvrée au cours de cette étape.
  4. Et ainsi de suite jusqu'à déterminer la valeur de la variable.

On cherche la valeur de |x| dans l'équation suivante: |\displaystyle \frac{5x}{3} - 12 = 8|.

1. On cherche la valeur de |\displaystyle \frac{5x}{3}|.

On cache le terme |\displaystyle \frac{5x}{3}| dans l'équation.
|\color{red}{?} - 12 = 8|
|\color{red}{20} - 12 = 8|
On déduit donc que |\displaystyle \frac{5x}{3} = 20|.

2. On cherche la valeur de |5x|.

On cache le terme |5x| dans l'équation.
|\displaystyle \frac{\color{red}{?}}{3} = 20|
|\displaystyle \frac{\color{red}{60}}{3} = 20|
On déduit donc que |5x = 60|.

3. On cherche la valeur de |x|.

On cache le terme |x| dans l'équation.
|5\times \color{red}{?} = 60|
|5\times \color{red}{12} = 60|
On déduit donc que |x = 12|.

On peut conclure que |x = 12|.

La méthode par essais et erreurs

La méthode par essais et erreurs consiste à essayer différentes valeurs possibles pour la variable et à vérifier si celles-ci sont des solutions de l'équation.

Dans la méthode par essais et erreurs, on choisit aléatoirement des valeurs pour la variable et on vérifie si ces valeurs correspondent à la solution de l'équation. Bien que simple à effectuer, cette méthode a le désavantage d'être longue et aléatoire. Il est donc préférable de maîtriser les autres techniques afin de résoudre plus efficacement les équations.

On cherche la valeur de |x| dans l'équation suivante: |\displaystyle \frac{x}{2} + 6 = 10|.

1e essai: On remplace |x| par |2|.

|\displaystyle \frac{\color{red}{2}}{2} + 6 = 10|
|1 + 6 = 10|
|7 = 10|
L'égalité est fausse car |7 > 10|. On peut en déduire que la solution est supérieure à 2.

2e essai: On remplace |x| par |4|.

|\displaystyle \frac{\color{red}{4}}{2} + 6 = 10|
|2 + 6 = 10|
|8 = 10|
L'égalité est fausse car |8 > 10|. On peut en déduire que la solution est supérieure à 4.

3e essai: On remplace |x| par |8|.

|\displaystyle \frac{\color{red}{8}}{2} + 6 = 10|
|4 + 6 = 10|
|10 = 10|
L'égalité est vraie. On peut en conclure que la solution est |x = 8|.

La validation d'une solution

La validation d'une solution d'équation est une démarche servant à vérifier l'exactitude de la valeur de la variable trouvée.

Afin de valider une solution, il suffit de remplacer la variable dans l'équation de départ par la réponse trouvée.

La réponse |x = 8| a été obtenue dans le dernier exemple ci-dessus. Afin de vérifer si cette réponse valide l'équation de départ, il suffit de remplacer la variable par la valeur trouvée.

|\displaystyle \frac{x}{2} + 6 = 10|
|\displaystyle \frac{\color{red}{8}}{2} + 6 = 10|
|4 + 6 = 10|
|10 = 10|

 

Les différentes méthodes de résolution présentées ci-dessus sont des méthodes générales. Afin de voir les méthodes de résolution spécifiques à chaque type de fonction, on peut consulter les liens suivants:

Résoudre une équation ou une inéquation du premier degré
Résoudre une équation ou une inéquation du second degré à une variable
Résoudre une équation ou une inéquation de valeur absolue à une variable
Résoudre une équation ou une inéquation de racine carrée à une variable
Résoudre une équation ou une inéquation exponentielle à une variable
Résoudre une équation ou une inéquation logarithmique à une variable
Résoudre une équation ou une inéquation rationnelle à une variable
Résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique à une variable

Les vidéos
Les exercices
Les références