Mathématique m1469

Le repérage d'un point trigonométrique

​Il est toujours possible de prendre un point trigonométrique quelconque et de le ramener dans le cercle trigonométrique. C'est ici qu'intervienent les notions de fonction d'enroulement et de périodicité.


Fonction d'enroulement et périodicité

On appelle fonction d'enroulement une fonction qui, à tout nombre réel |\theta| de la droite réelle, associe un point |P(\theta)| sur le cercle trigonométrique centré en |(0,0)|. C'est donc une fonction |f| telle que |\begin{eqnarray*}f: \mathbb{R} &\to& [-1,1] \times [-1,1] \\ \theta &\mapsto & (\cos \theta, \sin \theta) \end{eqnarray*}.|

Voici quelques schémas:

(source: http://www.geogebratube.org/student/m10388)

(source: http://www.geogebratube.org/student/m10388)

(source: http://www.geogebratube.org/student/m10388)

C'est donc dire que peu importe la valeur de |\theta|, il est toujours possible de lui associer un point |(x,y)=(\cos \theta, \sin \theta)| situé sur le cercle trigonométrique. On dit alors que la droite réelle s'enroule autour du cercle trigonométrique. Dans l'image de gauche, on aperçoit la droite réelle et dans l'image de droite cette dernière s'enroule autour du cercle.

    

(cliquez sur les images pour les agrandir)

Les points trigonométriques sont périodiques, c'est-à-dire que peu importe le nombre de tours que l'on effectue autour du cercle, il est toujours possible de se ramener dans l'intervalle |[0,2\pi]|.

On appelle période le plus petit nombre réel positif |p| tel que |P(\theta + p) = P(\theta)|.

Dans le cas des points trigonométriques, la période est de |2\pi| radians.

Il est possible d'établir différentes formules, en voici deux :

|\bullet| |\cos(\theta + 2\pi n) = \cos \theta|

|\bullet| |\sin(\theta + 2\pi n) = \sin \theta|

Ces deux formules sont valides peu importe la valeur de |\theta|. De plus, les valeurs de |n| doivent être entières.

Soit le point trigonométrique |P(\theta)=(5/13,12/13)|.

On veut savoir la valeur du point lorsque l'angle est plutôt |\theta + 8 \pi| radians.

On remarque que |8\pi| est un multiple de |2\pi|. En effet, |4 \times 2\pi = 8\pi|. Donc, |n=4|.

On peut donc appliquer les deux formules plus haut:

|\bullet| |\cos(\theta + 8\pi) = \cos \theta = 5/13|

|\bullet| |\sin(\theta + 8\pi) = \sin \theta = 12/13|

On obtient le même point |P(\theta + 8\pi) = (5/13,12/13)|.

 

Trouver les coordonnées d’un point lorsque la mesure de l’angle n'est pas dans l'intervalle |[0,2\pi]|

Pour trouver les coordonnées d’un point lorsque la mesure de l’angle n'est pas dans l'intervalle |[0,2\pi]| rad, il faut retrancher de l’angle donné l’angle correspondant au nombre de rotations complètes qu’il contient. Le résultat sera ainsi ramené dans l’intervalle |[0,2\pi]| .

Voici plus en détail les étapes à suivre :

1. Calculer le nombre de rotations |N| à retrancher de l’angle donné |t| en divisant cette mesure d’angle par |2\pi| et en conservant la partie entière du résultat obtenu :

|\displaystyle N=\left[\frac{t}{2\pi}\right]|

2. Soustraire de l’angle donné l’angle formé par le nombre de rotations précédemment calculé (dont la mesure est donc de |N\cdot 2\pi|): |t'=t-N\cdot2\pi|

3. Situer le résultat de la soustraction précédente, qui est un nombre compris entre |0| et |2\pi| , sur le cercle trigonométrique et indiquer ses coordonnées.

ATTENTION : Lorsque l’angle aura une valeur négative, la valeur de |N| sera elle aussi négative. Donc il faudra soustraire un multiple négatif de |2\pi|, ce qui reviendra à additionner des rotations pour trouver le résultat dans l’intervalle |[0,2\pi]|

Déterminer la position, sur le cercle trigonométrique, du point |P(\frac{31\pi}{6})| et indiquer ses coordonnées.

1. Calcul du nombre de rotations
|\displaystyle N= \left[t\div2\pi\right]|

|\displaystyle N=\left[\frac{31\pi}{6}\div2\pi \right]|

|N=[2,5833...]|

|N=2|

2. Soustraire le nombre de rotations

|t'=t-N\times2\pi|

|t'=\frac{31\pi}{6}-2\times2\pi|
 
|t'=\frac{31\pi}{6} -\frac{24\pi}{6}|
 
|t'=\frac{7\pi}{6}|

3. Localisation du point

Le point coïncide avec le point |P(\frac{7\pi}{6}) = (-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})| de sorte que ses coordonnées sont :

|P(\frac{31\pi}{6})=(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})|

Déterminer la position, sur le cercle trigonométrique, du point |P(\frac{-26\pi}{3})| et indiquer ses coordonnées.

1. Calcul du nombre de rotations

|N=[t\div2\pi]|

|\displaystyle N= \left[\frac{-26\pi}{3}\div2\pi \right]|

|N=[-4,33...]|

|N=-5|

2. Soustraire le nombre de rotations

|t'=t-N\times2\pi|

|t'=\frac{-26\pi}{3}-(-5)\times2\pi|
 
|t'=\frac{-26\pi}{3} -(-10\pi)|
 
|t'=\frac{4\pi}{3}|

3. Localisation du point

Le point coïncide avec le point |P(\frac{4\pi}{3}=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})| de sorte que ses coordonnées sont :

|P(\frac{-26\pi}{3})=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})|

Trouver la mesure de l’angle d'un point dans un intervalle donné

On peut aussi vouloir trouver l’inverse, c’est-à-dire qu’on peut vouloir trouver la valeur d’un angle dans un intervalle donné, |[a,b]|,  en connaissant ses coordonnées.
Pour trouver la valeur d’un angle, on doit d’abord identifier la mesure de l’angle à partir de ses coordonnées dans l’intervalle |[0,2\pi]|, puis lui ajouter le nombre de rotations nécessaires afin d’obtenir l’angle compris dans l’intervalle demandé.
Voici plus en détail les étapes à suivre :

1. Localiser sur le cercle trigonométrique le point dont on connaît les coordonnées et trouver la valeur de |t’|  associée à ce point dans l’intervalle |[0,2\pi]|.

2. Calculer le nombre de rotations à ajouter à |t’|  à l’aide de la formule : |\displaystyle N=\left[\frac{b-t'}{2\pi}\right]| où les crochets désignent la partie entière.

(où |b| représente la seconde borne de l’intervalle demandé.)

3. Additionner à |t’| le nombre de rotations calculé précédemment à l’aide de la formule: |t=t' +N\cdot2\pi|

Déterminer la valeur de l'angle |t| en radians si |P(t)=(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})| et si |t \in [9\pi,11\pi]|.

1. Localisation du point sur le cercle trigonométrique

Entre |0| et |2\pi|, l’angle au centre correspondant au point de coordonnées |(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})| est de |\frac{7\pi}{4}|.

On notera ce point |t’|.

2. Calcul du nombre de rotations

|\displaystyle N=\left[\frac{b-t'}{2\pi}\right]|

|\displaystyle N=\left[\frac{11\pi-\frac{7\pi}{4}}{2\pi}\right]|

|\displaystyle N=\left[\frac{\frac{37\pi}{4}}{2\pi}\right]|

|\displaystyle N=\left[\frac{37}{8}\right]|

|N=[4,625]|

|N=4|

3. Additionner le nombre de rotations

|t=t'+N\times2\pi|

|t=\frac{7\pi}{4}+4\times2\pi|

|t=\frac{7\pi}{4}+8\pi|

|t=\frac{39\pi}{4}|

Dans l’intervalle |[9\pi,11\pi]|, c’est le point |P(\frac{39\pi}{4})| qui possède les coordonnées |(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})|.

Déterminer la valeur de l'angle |t| en radians si |P(t)=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})| et si |t \in [-6\pi,-4\pi]|.

1. Localisation du point sur le cercle trigonométrique

Entre |0| et |2\pi|, l’angle au centre correspondant au point de coordonnées |(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})| est de |t \in [-6\pi,-4\pi]|. On notera ce point t’.

2. Calcul du nombre de rotations

|\displaystyle N=\left[\frac{b-t'}{2\pi}\right]|

|\displaystyle N=\left [\frac{-4\pi-\frac{\pi}{6}}{2\pi} \right]|

|N=[\frac{\frac{-25\pi}{6}}{2\pi}]|

|\displaystyle N=\left[\frac{-25}{12} \right]|

|N=[-2,0833...]|

|N=-3|

3. Additionner le nombre de rotations

|t=t'+N\times2\pi|

|t=\frac{\pi}{6}+-3\times2\pi|

|t=\frac{\pi}{6}-6\pi|

|t=\frac{-35\pi}{6}|

Dans l’intervalle |[-6\pi,-4\pi]| , c’est le point |P(\frac{-35\pi}{6})| qui possède les coordonnées |(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})|.

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