Mathématique m1484

L'aire et le volume des prismes

​​​​​​​​De par la définition d'un prisme, beaucoup de solides sont inclus dans cette catégorie. Même si plusieurs solides sont des prismes, il faut être en mesure de reco​nnaître un prisme selon ses propriétés​. Une fois cette étape accomplie, on peut entreprendre le calcul de son aire et de son volume.

L'aire des bases du prisme

Les bases du prisme sont des figures planes dont il est possible de connaitre l'aire en utilisant la formule associée à celle-ci. Par ailleurs, ces bases sont isométriques, ce qui veut dire qu'il suffit de trouver l'aire d'une base et de la multiplier par deux pour obtenir l'aire des deux bases.

Afin d'attirer l'attention des acheteurs potentiels, une compagnie décide d'imprimer une image du jouet contenu dans la boîte en grandeur nature sur les bases de l'emballage. En te fiant au plan de la boîte présenté ci-dessous, détermine la surface recouverte par les imprimés?
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1) Identifier les faces concernées
Dans le cas présent, les bases sont les deux trapèzes puisque ce sont les deux seules figures qui sont parallèles et isométriques dans ce solide.
m1484i21.PNG 
2) Appliquer la formule appropriée
Puisque les bases correspondent à un trapèze, on peut calculer l'aire d'une d'entre elles selon la formule suivante:
||\begin{align} A_\text{trapèze} &= \frac{(B + b) \cdot h}{2}\\\\
&= \frac{(1,4 + 0,8) \cdot 0,5}{2}\\\\
&= 0,55 \ \text{m}^2\end{align}||
3) Interpréter la réponse​
Puisqu'il y a deux bases, il suffit de multiplier le résultat précédent par deux:
||\begin{align} A_\text{bases} &= 0,55 \cdot 2\\
&= 1,1 \ \text{m}^2\end{align}||
Ainsi, la mesure de l'aire des bases est de |1,1 \ \text{m}^2|
 

Il est à noter que l'étape de l'application de la formule ne fait pas référence à une formule en particulier. En fait, la formule est celle associée à la figure plane qui sert de base au prisme. Pour la liste de ces formules, n'hésite pas à consulter le tableau résumé des formules d'aire​.​

​L'aire latérale du prisme

Au niveau du prisme, on peut calculer l'aire des faces latérales selon cette formule.

||A_L = P_b \cdot h|| 
où |\begin{align} P_b &= \text{périmètre de la base}\\
h\ &= \text{mesure de la hauteur du prisme}\end{align}|

Par ailleurs, on peut se référer à son développement pour la ​​déduire.

Démonstration de la formule d'aire latérale
Fondamentalement, la formule est basée sur le développement du solide:
m1484i25.PNG 
Ainsi, on peut dessiner l'aire latérale selon un seul grand rectangle:
m1484i26.PNG 
Finalement, la mesure de la base de ce |\color{blue}{\text{rectangle}}| est équivalente à la mesure du périmètre de la |\color{salmon}{\text{base}}| du prisme.
m1484i27.PNG 
Voilà la raison pour laquelle on voit le périmètre de la base apparaître dans la formule du calcul de l'aire latérale d'un prisme.


Ainsi, on peut mettre en pratique la formule de l'aire latérale de la façon suivante:

Une entreprise de friandises veut mettre en vente une nouvelle barre de chocolat avec la forme particulière suivante:
Par contre, l'emballage des faces latérales requiert un papier plus dispendieux. Afin de limiter les pertes, détermine la mesure de cette aire latérale.

1) Identifier le solide
Dans le cas présent, il s'agit d'un prisme régulier à base pentagonale.

2) Appliquer la formule de l'aire latérale du solide identifié
||\begin{align}A_L &= P_b \cdot h\\
&= (4 + 4 + 4 + 4 + 4) \cdot 13\\
&= 260 \ \text{cm}^2\end{align}||
3) Interpréter la réponse
Dans ce contexte, la mesure de l'aire latérale de la barre de chocolat est de |260 \ \text{cm}^2|.

 

L'aire totale du prisme

En se basant sur le mot «totale», on est en mesure de déduire que la formule associée à cette aire correspond à:

||A_T = A_L + 2 \cdot A_b||

Pour cette formule, il est important de ne pas oublier qu'il y a deux bases isométriques dans un prisme, d'où la multiplication par deux.​​

Afin d'assurer l'imperméabilité d'une tente, on veut la recouvrir d'un produit disponible en aérosol. Par contre, une cannette de se produit couvre seulement une surface moyenne de |6 \ \text{m}^2|.

Selon les mesures données dans le dessin ci-dessous, détermine combien de cannettes il faudra acheter pour imperméabiliser la tente complètement.
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​1) Identifier les faces concernées
Il est clairement mentionné qu'on veut «imperméabiliser la tente complètement». Ainsi, c'est l'aire des cinq faces qu'il faut calculer.

2) Calculer l'aire d'une base
Puisqu'il s'agit d'un prisme à base triangulaire,
||\begin{align} A_\text{b} &= A_\text{triangle}\\
&= \frac{b \cdot \color{red}{h}}{2}\\\\
&= \frac{1,732 \cdot \color{red}{1,5}}{2}\\\\
 &= 1,299 \ \text{m}^2\end{align}||
3) Calculer l'aire latérale
Puisque c'est un prisme, on peut appliquer la formule:
||\begin{align} A_L &= P_b \cdot h\\
&​= (1,732 + 1,732 + 1,732) \cdot 2,2\\
&\approx 11,431 \ \text{m}^2\end{align}||
4) Calculer l'aire totale
||\begin{align} A_T &= A_L + 2 \cdot A_b\\
&= 11,431 + 2 \cdot 1,299\\
&= 14,029 \ \text{m}^2\end{align}||
5) Interpréter la réponse
Pour déterminer le nombre total de cannettes à acheter, on doit utiliser la division:
||14,029 \div 6 \approx 2,34||
Puisqu'on doit acheter un nombre entier de cannettes, il faudra se procurer un total de |3| cannettes.
 

Le volume du prisme

Afin de déterminer l'espace qu'un tel solide occupe, on considére d'abord l'aire de sa base pour ensuite la multiplier par la mesure de sa hauteur.​

​||V = A_b \cdot h||
où |h = \text{mesure de la hauteur du prisme}|

À l'aide de cette formule, il est plus simple de calculer le volume de n'importe quel prisme.

​Afin de s'assurer de faire un bon achat, un campeur s'interroge sur l'espace habitable de cette tente:
​​m1484i30.PNG
Pour être confortable, il veut s'assurer d'avoir un minimum de |3 \ \text{m}^3| d'espace. En considérant cette contrainte, devrait-il se procurer cet abri?

1) Identifier la nature du solide
Pour cet exemple, il s'agit d'un prisme à base triangulaire.

2) Appliquer la formule
||\begin{align} V &= A_b \cdot h\\
&= \frac{b \cdot \color{red}{h}}{2} \cdot h\\\\
&= \frac{1,732 \cdot \color{red}{1,5}}{2} \cdot 2,2\\\\
&\approx 2,86 \ \text{m}^3\end{align}||
3) Interpréter la réponse
Puisque le campeur cherche une tente avec un minimum de |3 \ \text{m}^3|, mais que celle analysée occupe un espace plus petit (|2,86 \ \text{m}^3|), il serait préférable qu'il opte pour un autre modèle.

​Malgré l'allure simple de cette démarche, il faut faire attention pour ne pas mélanger les différentes mesures de hauteur. Lorsqu'il est question de l'aire de la base, le |h| fait référence à la mesure de la hauteur de la base. Par contre, dans le calcul du volume, le |h| est associé à la mesure de la hauteur du prisme.

U​​ne fois cette distinction faite, il ne reste qu'à s'assurer qu'il n'y ait​​ aucune erreur de calcul pouvant s'être glissée dans la démarche.​​

 
Les vidéos
 
Les exercices
Les références