Mathématique m1485

L'aire et le volume des pyramides

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Il est possible de calculer l'aire et le volume d'une pyramide à l'aide des formules qui y sont associées. Il est à noter que la base d'une pyramide peut représenter n'importe quel polygone. Ainsi, il est important de se référer aux formules d'aire des figures planes.

L’aire de la base d'une pyramide

Comme la pyramide peut avoir n'importe quel polygone comme base, il est nécessaire de bien l'identifier afin de pouvoir déterminer la manière dont on calculera son aire. Ainsi, il est nécessaire de se référer aux for​mules d'aires des figures planes afin de connaitre la formule à utiliser selon le type de polygone.

Quelle est l'aire de la base de la pyramide suivante:
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1) Identifier la face concernée
Dans cet exemple, la base est un hexagone régulier.

2) Appliquer la formule appropriée
Puisque cette figure plane fait partie des polygones réguliers, on applique la formule
||\begin{align} A_b &= \frac{\color{blue}{c} \cdot \color{green}{a} \cdot n}{2}\\\\
&= \frac{\color{blue}{5} \cdot \color{green}{4,33} \cdot 6}{2}\\\\
&= 64,95 \ \text{cm}^2\end{align}||
3) Interpréter la réponse
Puisqu'il n'y a aucun contexte qui entoure le problème, on affirme simplement que l'aire de la base de cette pyramide est de |64,95 \ \text{cm}^2|.

​​Dans tous les cas, les pyramides ne possèdent qu'une seule base. Ainsi, l'identification adéquate de la nature de cette base est encore plus importante​.

L'aire latérale d'une pyramide

Dans les cas où la pyramide est formée d'un polygone régulier, ses faces latérales sont des figures planes isométriques, soit des triangles.

||A_L = \frac{P_b \cdot a}{2}||
où |a = \text{mesure de l'apothème}|

Afin de bien comprendre cette formule, voici quelques explications supplémentaires.

Démonstration de la formule d'aire latérale d'une pyramide dont la base est un polygone régulier.

Au départ, il faut bien comprendre le développement de la pyramide.
Ainsi, on peut associer la base de chaque triangle avec un côté de la base de la pyramide
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En gardant en mémoire que la hauteur des triangles est en fait l'apothème de la pyramide, on peut calculer l'aire de chacun des triangles:
||\begin{align} A_{\Delta \text{du haut et du bas}} &=  \frac{\text{base} \cdot a}{2} + \frac{\color{green}{\text{base}} \cdot a}{2}\\\\
&= \frac{\color{yellow}{\text{base}} \cdot a}{2} + \frac{\color{blue}{\text{base}} \cdot a}{2}\end{align}||
En additionnant l'aire de chacun des triangles et en mettant la mesure de l'apothème en évidence, on obtient l'aire latérale:
||A_L = (\frac{\text{base} + \color{green}{\text{base}} + \color{yellow}{\text{base}} + \color{blue}{\text{base}}}{2}) \cdot a||
Puisque les bases de chacun des triangles forment la base de la pyramide, on peut associer le résultat de ces additions avec le périmètre de la base:
||\begin{align} A_L &= \frac{P_b}{2} \cdot a \\\\
&= \frac{P_b​ \cdot a}{2}\end{align}||


Sans être indispensable, il est important de voir que pour arriver à nos fins, on a décomposé la pyramide pour reconnaître les différentes figures qui la composaient.

Afin de garder certaines des pyramides d'Égype ouvertes au public, on doit restaurer leurs façades. Afin de faire une soumission en bonne et due forme aux différentes compagnies, on veut connaître la superficie des surfaces à restaurer de la pyramide à base carrée de Khéphren:
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1) Identifier le solide
Dans le cas présent, il s'agit d'une pyramide à base carrée.

2) Appliquer la formule d'aire latérale du solide identifié
||\begin{align} A_L &=\frac{P_b \cdot a}{2}\\\\
&=\frac{(215+215+215+215) \cdot 179,30}{2}\\\\
&= 77 099 \ \text{m}^2\end{align}||
3) Interpréter la réponse
La superficie des surfaces à restaurer équivaut à | 77 099 \ \text{m}^2|.

Comme mentionné auparavant, on serait arrivé à la même réponse en calculant l'aire d'une face latérale et en la multipliant par quatre puisqu'il s'agit d'une pyramide à base carrée.

L'aire totale d'une pyramide

L'aire totale d'une pyramide s'obtient en additionnant son aire latérale et l'aire de sa base.

||A_T = A_L + ​A_b||

Il s'agit essentiellement d'une combinaison des deux formules vues plus haut.

Pour recouvrir les dés en forme de tétraèdre régulier​ d'un jeu de «Donjons et Dragons», on veut utiliser un matériau particulier pour assurer leur solidité.
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Si on veut recouvrir 150 de ces dés, quelle quantité de matériau sera nécessaire?

1) Identifier les faces concernées
Dans le cas présent, on doit calculer la superficie des quatre faces.

2) Calculer l'aire de la base
Puisqu'il s'agit d'un tétraèdre régulier, toutes les faces sont des triangles équilatéraux isométriques. Ainsi,
||\begin{align} A_b &= \frac{b \cdot h}{2}\\\\
&= \frac{1,5 \cdot 1,3}{2}\\\\
&= 0,975 \ \text{cm}^2\end{align}||
3) Calculer l'aire latérale
Puisque le tétraèdre fait partie du groupe des pyramides,
||\begin{align} A_L &= \frac{P_b \cdot a}{2}\\\\
&= \frac{(1,5 + 1,5 + 1,5) \cdot 1,3}{2}\\\\
&= 2,925 \ \text{cm}^2\end{align}||
4) Calculer l'aire totale
||\begin{align} A_T &= A_L + A_b\\
&= 2,925 + 0,975\\
&= 3,9 \ \text{cm}^2\end{align}||
5) Interpréter la réponse
Puisqu'on veut recouvrir 150 de ces dés, la superficie totale impliquée sera de
||3, 9 \cdot 150 = 585 \ \text{cm}^2||.

​Tout comme l'aire totale des autres polyèdres, l'aire totale est en fait la somme de l'aire des bases et de l'aire latérale.​

Le volume des pyramides

Puisque ce polyèdre n'est formé que d'une seule base, la formule de son volume sera différente de celle des prismes.

​||V = \frac{A_b \cdot h}{3}||
où |h = \text{mesure de la hauteur de la pyramide}|

Malgré tout, le volume d'une pyramide fait quand même référence à l'espace qu'il occupe.

Dans la ville de Québec, une partie d'un édifice commercial est bâtie selon un modèle de pyramide à base carrée.
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Afin de respecter les différentes normes, la section pyramidale de cette bâtisse possède une base d'un périmètre de 160 m et une hauteur de 15 m. Si 70% de cet espace est réservé à des bureaux administratifs, quel espace leur est alors consacré?

1) Identifier la nature du solide
Dans le cas présent, il s'agit d'une pyramide à base carrée.

2) Appliquer la formule
Étant donné que la base est carrée, on est en mesure de déduire que la mesure d'un côté est de 40 m (|160 \div 4|). Ainsi,
||\begin{align} V &=\frac{A_b \cdot h}{3}\\\\
&= \frac{(40 \cdot 40) \cdot 15}{3}\\\\
&= 8000 \ \text{m}^3\end{align}||
3) Interpréter la réponse
Puisqu'on s'intéresse à 70% de cet espace, on obtient
||70 \% \cdot 8000 = 5600 \ \text{m}^3||
Ainsi, les locaux administratifs occupent un espace de |5600 \ \text{m}^3|.

​​De par sa construction, il est facile de voir qu'une des particularités de la pyramide est qu'elle soit composée majoritairement de triangles. Ainsi, on peut utiliser cette caractéristique lorsque vient le temps de trouver la mesure de la hauteur ou de l'apothème. ​​​​

Trouver la mesure de la hauteur ou de l'apothème d'une pyramide

​​En fait, il n'y a pas de formule propre à cette notion, mais on utilise généralement une formule très répandue dans le domaine des mathématiques: la relation de Pythagore​.

Trouver la mesure de la hauteur
Dans le cas d'une pyramide droite, on peut obtenir un triangle rectangle en traçant la hauteur issue de l'apex et rejoignant le centre de la base.
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Puisque la hauteur est au centre de la base et que c'est une pyramide droite, la mesure de la |\color{green}{\text{cathète}}| correspond à la moitié de la mesure du côté de la base.

En associant la mesure d'une cathète avec la moitié de celle d'un côté de la base, l'autre cathète avec celle de la hauteur et l'apothème avec celle de l'hypoténuse, on peut utiliser la relation de Pythagore:
||\begin{align} \color{green}{a}^2 + \color{red}{b}^2 &= \color{blue}{c}^2\\
\color{green}{3}^2 + \color{red}{b}^2 &= \color{blue}{5}^2\\
\color{red}{b}^2 &= 16\\
\color{red}{b} &= 4 \ \text{cm}\end{align}||
Trouver la mesure de l'apothème
Dans le cas d'une pyramide droite, on peut obtenir un triangle rectangle en traçant la hauteur issue de l'apex et rejoignant le centre de la base.
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Puisque la hauteur est au centre de la base et que c'est une pyramide droite, la mesure de la |\color{green}{\text{cathète}}| est la moitié de la mesure du côté de la base.

En associant la mesure d'une cathète avec la moitié de celle d'un côté de la base, l'autre cathète avec celle de la hauteur et l'apothème avec celle de l'hypoténuse,​ on a assez d'informations pour utiliser la relation de Pythagore:

||\begin{align} \color{green}{a}^2 + \color{red}{b}^2 &= \color{blue}{c}^2\\
\color{green}{6}^2 + \color{red}{8}^2 &= \color{blue}{c}^2\\
100 &= \color{blue}{c}^2\\
10 \ \text{cm} &​= \color{blue}{c}\end{align}||

​​​Lorsqu'on utilise plusieurs concepts simultanément de cette façon, il faut faire attention pour ne pas s'y perdre dans l'utilisation des variables. Sur la pyramide, «|\color{blue}{a}|» fait référence à l'apothème alors que dans la relation de Pythagore, c'est la variable «|c|» qui ​fait référence à ce segment. Bref, pour bien comprendre les deux exemples, l'utilisation des couleurs aide grandement à associer les nombres avec les segments qu'ils représentent.​

Une fois la distinction faite, il ne reste qu'à compléter la démarche avec un peu d'algèbre et d'opérations inverses.

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