Mathématique m1487

L'aire et le volume des cylindres

​​​​​​​​​​​En ce qui concerne les formules d'aire et de volume du cylindre, elles se comparent avec celles des prismes à l'exception que les bases des cylindres sont des cercles et que ceux-ci ne possèdent qu'une seule face latérale qui est courbe.

L’aire des bases du cylindre

Selon sa construction et sa définition, l'aire des bases d'un cylindre sera toujours calculée en fonction des disques qui les définissent. Par ailleurs, il existe déjà une formule pour calculer la superficie de cette figure plane.

​||A_b = \pi r^2||
où |r = \text{mesure du rayon}|

​Selon le contexte, il faudra considérer une ou les deux bases du cylindre.​​

​Afin d'avertir les véhicules qui le suivent, un camionneur transportant des troncs d'arbres cylindriques peinture de rouge l'extrémité de celui qui dépasse le plus de son chargement.
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source
Quelle est la mesure de la surface recouverte de peinture sachant que les troncs ont un rayon moyen de |15\ \text{cm}|?​

1) Identifier les faces concernées
Dans le cas présent, seule une des bases est concernée. Ainsi, il suffit de calculer l'aire d'un seul disque.

2) Appliquer la formule ​
||\begin{align} A_b &= \pi \cdot r^2\\
&= \pi \cdot 15^2\\
&\approx 706,86 \ \text{cm}^2\end{align}||
3) Interpréter la réponse
La surface recouverte de peinture a une superficie d'environ |706,86 \ \text{cm}^2|

Dans un autre contexte, on aurait pu calculer l'aire des deux bases. Dans ce cas, on peut suivre la même démarche, mais il faut s'assurer de multiplier l'aire de la base par deux lorsque vient le temps d'interpréter la réponse.

L'aire latérale du cylindre

En se basant sur le développement du cylindre, on peut déduire que la face latérale est en fait un rectangle qui entoure chacune des bases circulaires.

Concrètement, on peut représenter cet enroulement de la façon suivante:
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Dans ce dessin, on voit que
||\begin{align} \color{green}{\text{base de la face latérale}} &= \color{green}{\text{circonférence du cercle}}\\
\color{blue}{\text{hauteur de la face latérale}} &= \color{blue}{\text{hauteur du cylindre}}\\
\Rightarrow \text{aire de la face latérale} &= \text{circonférence du cercle}\times \text{hauteur du cylindre}\end{align}||

En tenant compte de ces informations, on peut dégager la formule d'aire suivante:

​||\begin{align} A_L &= 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h\\
\text{où}\ r &= \text{mesure du rayon de la base}\\
h &= \text{mesure de la hauteur du cylindre}\end{align}||

Pour mettre le tout en pratique, on peut se fier à l'exemple de démarche suivant:

Pour apposer la marque de commerce du fabriquant sur ses crayons marqueurs, le directeur commercial décide de poser un autocollant sur toute la surface latérale du marqueur.
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Avec ces informations, détermine la superficie de cet autocollant.

1) Identifier le solide
Dans ce cas, il faut calculer l'aire latérale du cylindre.

2) Appliquer la formule
||\begin{align} A_L &= 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h\\
&= 2 \cdot \pi \cdot 0,9 \cdot 12\\
&\approx 67,86 \ \text{cm}^2\end{align}||
3) Interpréter la réponse
L'autocollant a une surface d'environ |67,86 \ \text{cm}^2|.

L'aire totale du cylindre

Tout comme dans la majorité des concepts où la notion de totalité est impliquée, il faut additionner l'aire des bases et l'aire latérale du solide étudié pour en trouver l'aire totale.

​||A_T = A_L + 2 \cdot A_b||

Une fois de plus, cette formule est sujet à changement en fonction du contexte. Plus précisément, il peut arriver qu'une seule des deux bases soit à considérer.

Dans le but d'innover, une compagnie qui fabrique des gourdes d'eau laisse le soin à ses clients d'imprimer les motifs qu'ils veulent sur toutes les surfaces de la bouteille.
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source
Selon ce modèle, quelle est la mesure de la surface sur laquelle les clients peuvent imprimer des motifs?

1) Identifier les faces concernées
Pour ce contexte, toutes les faces du cylindre sont à considérer.

2) Calculer l'aire d'une base
||\begin{align} A_b &= \pi \cdot r^2\\
&= \pi \cdot (0,85 \div 2)^2\\
&\approx 0,57 \ \text{dm}^2\end{align}||
3) Calculer l'aire latérale
||\begin{align} A_L &= 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h\\
&= 2 \cdot \pi \cdot (0,85 \div 2) \cdot 2,3\\
&\approx 6,14 \ \text{dm}^2\end{align}||
4) Calculer l'aire totale
||\begin{align}A_T &= A_L + 2 \cdot A_b\\
&= 6,14 + 2 \cdot 0,57\\
&= 7,28 \ \text{dm}^2\end{align}||
5) Interpréter la réponse
Il est possible d'imprimer des motifs sur une surface de |7,28 \ \text{dm}^2|.

Le volume du cylindre

Le volume d'un cylindre correspond à l'espace qu'il occupe dans son environnement. Même si ce solide ne fait pas partie de la famille des prismes, sa formule pour calculer son volume est la même que ceux-ci.

​||V = A_b \cdot h||
où |h = \text{hauteur du cylindre}|

Afin de mieux présenter l'utilité de cette formule, voici un exemple.

Pour protéger les êtres humains ​des différentes maladies, les organismes de santé mettent sur pied des programmes de vaccination. Pour donner les vaccins aux gens, ils utilisent ce genre d'équipement.
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Selon ce modèle, quel volume de médication maximal, en |\text{mm}^3|, ce vaccin peut-il contenir?

1) Identifier le solide
Selon la forme du dessin, on peut déduire qu'il s'agit d'un cylindre.

2) Appliquer la formule
||\begin{align}V &= A_b \cdot h\\
&= \pi \cdot (6 \div 2)^2 \cdot 90\\
&\approx 2544,69 \ \text{mm}^3\end{align}||
3) Interpréter la réponse
Selon les données, le vaccin peut contenir un maximum d'environ |2544,69 \ \text{mm}^3| de médication.

Il est à noter qu'il faut faire attention pour bien utiliser la mesure du rayon et non la mesure du diamètre. Dans le cas présent, c'est la raison pour laquelle on a fait la division suivante : |6 \div 2|. ​​

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