Mathématique m1567

Propriétés de la notation exponentielle

Afin de bien saisir toutes les subtilités des mathématiques financières, il est essentiel de maîtriser les diverses définitions et propriétés des exposants. ​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​En ce qui concerne cette section, ce sont surtout les propriétés des exposants qui seront abordées et mises en lien avec la résolution d'équation exponentielle.

Les propriétés des exposants

​Pour les propriétés suivantes​, il est important de considérer que 
||\{a,b\} \in \mathbb{R}\quad \text{et}\quad \{m,n\} \in \mathbb{N}||.

​Dans les prochains encadrés, les propriétés seront d'abord définies et ensuite présentés sous forme d'égalité. Par ailleurs, il est important de se rappeler qu'une égalité peut être lue de gauche vers la droite, mais également de droite vers la gauche.

Cette habileté à lire les égalités dans les deux sens sera mise de l'avant dans les prochaines sections.

Même base avec exposants différents

Si deux mêmes puissances d'une même base sont égales, alors les exposants sont égaux.
||\text{Si} \ a^{m}=a^{n} \ \text{alors} \ m=n||
Ainsi,on peut utiliser cette propriété pour résoudre des équations exponentielles.

Exemple 1
||\begin{align} &&1,25^{4}&=1,25^{x} \\
&\Rightarrow &4 &= x \end{align}||
Exemple 2
||\begin{align} &&1,04^{x+1}&=1,04^{3}\\
&\Rightarrow &x+1 &= 3 \\
&&x &= 2 \end{align}||
Fait à noter, cette propriété n'est vraie que si les bases des deux notations exponentielles sont identiques. Si jamais les bases ont des valeurs différentes, il faudra privilégier l'utilisation des propriétés de la notation logarithmique ou aux définitions des exposants.

Produit des puissances de même base

Lorsque des notations exponentielles de même base sont multipliées ensemble, on additionne les exposants.
||a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}||
Généralement, cette propriété est utilisée pour transformer ou simplifier l'écriture de l'équation de départ afin de faciliter sa résolution.

Exemple 1
||\begin{align} &&1,5^4 \cdot 1,5^2 &=1,5^{x} \\
&&1,5^{4+2} &= 1,5^x \\
&&1,5^6&=1,5^x\\
&\Rightarrow &6 &= x\end{align}||
Exemple 2
||\begin{align} &&0,96^{7}&= 0,96^2 \cdot 0,96^x\\
&&0,96^7 &= 0,96^{2+x} \\
&\Rightarrow &7 &= 2+x \\
&&5 &= x \end{align}||

Quotient des puissances de même base

Lorsque des notations exponentielles de même base sont divisées ensemble, on soustrait les exposants.
|| \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\ \text{où} \ a\neq 0||
Généralement, cette propriété est utilisée pour transformer ou simplifier l'écriture de l'équation de départ afin de faciliter sa résolution.

Exemple 1
||\begin{align} && \frac{1,15^4}{1,15^2} &= 1,15^x \\
&& 1,15^{4-2}&= 1,15^x \\
&& 1,15^2 &= 1,15^x \\
&\Rightarrow &2 &= x \end{align}||
Exemple 2
||\begin{align} &&1,23^5 &= \frac{1,23^7}{1,23^x} \\
&& 1,23^5 &= 1,23^{7-x} \\
&\Rightarrow &5 &= 7-x \\
&& 2 &=x\end{align}||

Puissance d'un produit

On peut distribuer un exposant lorsqu'il affecte une parenthèse qui contient une multiplication.
||(ab)^{m}=a^{m}b^{m} ||
Ainsi,on peut utiliser cette propriété pour résoudre des équations exponentielles.

Exemple 1
||\begin{align} && 1,2^2 \cdot 1,4^2 &= x^2 \\
&\Rightarrow &(1,2 \cdot 1,4)^2 &= x^2 \\
&& 1,68 ^2 &= x^2 \\
&\Rightarrow &1,68 &= x \end{align}||
Exemple 2
||\begin{align} &&1,5^3 &= 8 \cdot 0,75^x \\
&&(2 \cdot 0,75)^3 &= 8 \cdot 0,75^x \\
&\Rightarrow & 2^3 \cdot 0,75^3 &= 8 \cdot 0,75^x \\
&& 8 \cdot 0,75^3 &= 8 \cdot 0,75^x \\
&& 0,75^3 &= 0,75^x \\
&\Rightarrow &3 &= x \end{align}||
Lorsqu'on utilise la multiplication, on doit impérativement prêter une attention particulière à la valeur de l'exposant. Si l'exposant est le même, on peut effectuer la multiplication. Sinon, on ne peut déterminer le produit des deux termes.

Possible de calculer le produit (exposants identiques)
||\begin{align} 4^\color{blue}{5} \cdot 3^\color{blue}{5} &= (4\cdot 3)^\color{blue}{5} \\
&= 12^\color{blue}{5} \end{align}||
Impossible de calculer le produit (exposants différents)
||\begin{align} 2 \cdot 1,1^3 &= 2^\color{red}{1} \cdot 1,1^\color{blue}{3} \\
&= 2^\color{red}{1} \cdot (1,1)^\color{blue}{3} \\
&= 2 \cdot (1,1)^\color{blue}{3} \end{align}||
Comme on peut le constater dans l'encadré précédent, les parenthèses peuvent être utilisées pour faire la distinction entre deux notations exponentielles que l'on ne peut pas multiplier.

Ainsi, |2 \cdot 1,1^3 \not= 2,2^3|, l'équation demeure |2 \cdot (1,1)^3|.

Puissance d'une puissance

On multiplie les exposants quand une puissance est affectée d'un exposant.
||(a^{m})^{n}=a^{mn}||
Ainsi,on peut utiliser cette propriété pour résoudre des équations exponentielles.

Exemple 1
||\begin{align}
&&0,7^{2x} &= 0,49^3 \\
&&(\color{blue}{0,7^2})^x &= 0,49^3 \\
&&\color{blue}{0,49}^x &= 0,49^3 \\
&\Rightarrow &x &= 3 \end{align}||
Exemple 2
||\begin{align}
&& 1,5^4 &= 2,25^x \\
&& (\color{blue}{1,5^2})^2 &= 2,25^x \\
&& \color{blue}{2,25}^2 &= 2,25^x \\
&\Rightarrow &2 &= x \end{align}||
L'idée qui motive l'utilisation de cette propriété est de pouvoir transformer les bases des notations exponentielles. En utilisant cette propriété, il est possible d'obtenir des bases qui sont équivalentes. Par la suite, il s'agit de travailler avec les exposants pour trouver la valeur de |x|.

Exemple de résolution impliquant plusieurs propriétés

Dans le cas des résolutions d'équations, il peut aider de suivre la procédure suivante.

1. Isoler |x| comme exposant
2. Trouver des bases équivalentes
3. Isoler les notations exponentielles avec les bases équivalentes de chaque côté

4. Comparer les exposants

En fait, la stratégie qui se cache derrière cette marche à suivre est d'utiliser les propriétés des exposants afin d'obtenir des bases qui ont des valeurs équivalentes. Au finale, il ne devrait rester que les exposants à comparer.

Résous l'équation suivante:
||500 (1,4)^{2+x} = 2,45 (28)^2||
1. Isoler |x| comme exposant
||\begin{align} 500 \color{blue}{(1,4)^{2+x}} &= 2,45 (28)^2 \\
500 \cdot \color{blue}{1,4^2 \cdot 1,4^x} &= 2,45 (28)^2 && \small \text{produit des puissances} \\
500 \cdot 1,96 \cdot 1,4^x &= 2,45 (28)^2 \\
980 (1,4)^x &= 2,45 (28)^2 \end{align}||
2. Trouver des bases équivalentes
||\begin{align}
980 (1,4)^x &= 2,45 (28)^2 \\
980 (\color{blue}{1,4})^x &= 2,45 (20 \cdot \color{blue}{1,4})^2 && \small \text{bases équivalentes}\\
980 (\color{blue}{1,4})^x &= 2,45 \cdot (20)^2 \cdot (\color{blue}{1,4})^2 && \small \text{puissance d'un produit} \\ \end{align}||
3. Isoler les notations exponentielles avec les bases équivalentes de chaque côté
||\begin{align}
980 (1,4)^x &= 2,45 \cdot (20)^2 \cdot (1,4)^2 \\
980 (1,4)^x &= 2,45 \cdot 400 (1,4)^2 \\
\frac{980 (1,4)^x}{\color{red}{980}} &= \frac{980 (1,4)^2}{\color{red}{980}} \\
1,4^x &= 1,4^2  \end{align}||
4. Comparer les exposants
||\begin{align}
&&1,4^x &= 1,4^2 \\
&\Rightarrow & x &= 2 \end{align}||
Advenant le cas où il semble impossible de trouver des bases équivalentes pour chacune des notations exponentielles, on peut se référer aux définitions et propriétés de la notation logarithmique.

Les vidéos
Les exercices
Les références