Mathématique m1571

Calculer l'actualisation

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Dans certains cas, les investisseurs vont effectuer des placements dans le but d'obtenir un montant final précis. En d'autres mots, la valeur future (capital accumulé) ainsi que la durée du placement (nombre de périodes) sont connues alors que la valeur actuelle (capital initial) est inconnue. Il s'agit de l'opération inverse de la capitalisation.

Puisque c'est la valeur actuelle (capital initial) que l'on cherche, il est alors question d'actualisation.

Peu importe la situation, l'idée de base derrière ce concept est d'utiliser les opérations inverses afin d'isoler la valeur inconnue, soit |C_0| (capital initial).

Actualisation selon un intérêt simple

Comme il a été démontré dans la fiche sur la capitalisation et la modélisation d'une situation financière​, la période d'intérêt n'a aucun impact sur la valeur future lorsque l'intérêt est simple. On peut lier cette déduction au fait que le calcul d'un intérêt simple est modélisé par la fonction linéaire de degré 1.

||\begin{align}
C_n &= C_0(i \cdot n +1) \\
\text{avec} \ & \small C_n: \text{Valeur future (Capital accumulé)} \\
& \small C_0: \text{Valeur actuelle (Capital initial)} \\
& \small i: \text{Taux d'intérêt simple annuel en notation décimale} \\
& \small n: \text{Nombre de périodes d'intérêt (durée)} \end{align}||

Ainsi, seul un exemple sera présenté dans cette section. 

Afin de fêter le début de sa retraite, Arthur prévoit se payer une croisière dans la mer des Caraïbes. Selon son conseiller financier, il doit demeurer sur le marché du travail pour les |\color{fuchsia}{12}| prochaines années avant de réaliser son voyage. 
Ainsi, quel montant devrait-il investir aujourd'hui s'il sait que son voyage lui coûtera |\color{red}{12 \ 000 \ \$}| et que le tout sera soumis à un taux d'intérêt simple annuel de |\color{blue}{1,2 \ \%}|?

1) Trouver la règle
||\begin{align}
\color{red}{C_n} &= C_0 (\color{blue}{i} \cdot \color{fuchsia}{n} +1) \\
\color{red}{12 \ 000} &= C_0 (\color{blue}{0,012} \cdot \color{fuchsia}{12} +1) \end{align}||
2) Isoler la valeur actuelle (capital initial)
||\begin{align}
\color{red}{12 \ 000} &= C_0 (\color{blue}{0,012} \cdot \color{fuchsia}{12} +1) \\
\frac{12 \ 000}{\color{green}{1,144}} &= \frac{C_0 (1,144)}{\color{green}{1,144}} \\
10 \ 489,51 &\approx C_0 \end{align}||
3) Donner la réponse dans une phrase

Ainsi, la valeur actuelle du placement d'Arthur devrait être d'environ |10 \ 489,51\ \$|.

Actualisation selon un intérêt composé

​Avec la notion d'intérêt composé, les manipulations algébriques deviennent un peu plus complexes. En effet, la présence d'un exposant force l'utilisation des définitions et propriétés des exposants

En utilisant l'algèbre

​Tout comme pour résoudre n'importe quelle équation, on peut utiliser les opérations inverses pour isoler une variable. 

Avec la naissance de son troisième enfant, Vincent tient à mettre de l'argent de côté afin de payer les frais de scolarité de son garçon. Selon les informations disponibles, le coût moyen associé ​à des études universitaires est de |\color{red}{60 \ 000 \ \$}|.
En prenant pour acquis que cette somme devra être disponible dans |\color{fuchsia}{23}| ans, quel montant Vincent devrait-il placer​ si le plan qu'il utilise est basé sur des intérêts composés annuel à un taux de |\color{blue}{2,34 \ \%}| calculés |\color{orange}{\text{mensuellement}}|?

1) Trouver la règle
||\begin{align}
\color{red}{C_n} &= C_0 \left(1+\frac{\color{blue}{i}}{\color{orange}{k}}\right)^{\color{fuchsia}{n}} \\
\color{red}{60 \ 000} &= C_0\left(1+\frac{\color{blue}{0,0234}}{\color{orange}{12}}\right)^{\color{fuchsia}{12 \cdot 23}}​ \\
\color{red}{60 \ 000} &= C_0 \left(1+\frac{\color{blue}{0,0234}}{\color{orange}{12}}\right)^{\color{fuchsia}{276}}​
\end{align}||
2) Isoler la valeur actuelle (capital initial)
||\begin{align}
\color{red}{60 \ 000} &= C_0 \left(1+\frac{\color{blue}{0,0234}}{\color{orange}{12}}\right)^{\color{fuchsia}{276}}​ \\
\frac{\color{red}{60 \ 000}}{\color{green}{1,712}} &\approx \frac{C_0 (1,712)}{\color{green}{1,712}} \\
35 \ 046,73 &\approx C_0 \end{align}||
3) Donner la réponse dans une phrase

Ainsi, la valeur actuelle du placement de Vincent devrait être d'environ |35 \ 046,73\ \$|.

Afin d'éviter les erreurs de calculs, on peut déduire une formule de cette procédure.

En utilisant la formule

||\begin{align} C_0 &= C_n \left(1+\frac{i}{k}\right)^{-n} \\\\
&=\frac{C_n}{\left(1+\frac{i}{k}\right)^n} \\\\
\small \text{avec} & \small \ C_0: \ \text{Valeur actuelle (Capital initial)} \\
& \small \ C_n : \ \text{Valeur future (Capital accumulé)}\\
& \small \ i : \ \text{Taux d'intérêt composé annuel en notation décimale} \\
& \small \ k: \ \text{Facteur en lien avec la période d'intérêt} \\
& \small \ n : \ \text{Nombre de périodes d'intérêt (Durée)} \end{align}||
Ainsi, la démarche est plus concise.

Avec tous ses placements, Gitane a oublié le montant actuel d'un d'entre eux. Par contre, elle dispose des informations suivantes:
- placement selon un taux d'intérêt composé hebdomadairement,
- taux d'intérêt annuel de 1,89 %,
- placement d'une durée totale de 5 ans,
- valeur future (capital accumulé) obtenue: 4578,81 $.
Quel est la valeur actuelle (capital initial) de ce placement?

1) Identifier les différentes données
||\begin{align}
\color{red}{C_n} &= \color{red}{4 \ 578,81} \\
\color{blue}{i} &= \color{blue}{1,89 \ \%} \\
\color{orange}{k} &= \color{orange}{52} \\
\color{fuchsia}{n} &= \color{fuchsia}{5 \cdot 52 = 260}\end{align}||
2) Appliquer la formule
||\begin{align} C_0 &= \frac{\color{red}{C_n}}{\left(1+\frac{\color{blue}{i}}{\color{orange}{k}}\right)^\color{fuchsia}{n}} \\\\
&= \frac{\color{red}{4 \ 578,81}}{\left(1+\frac{\color{blue}{0,0189}}{\color{orange}{52}}\right)^\color{fuchsia}{260}} \\\\
&\approx 4 \ 166,34 \end{align}||
3) Donner la réponse dans une phrase

La valeur actuelle du placement de Gitane est d'environ |4 \ 166,34 \ \$|. 
Tout comme plusieurs formules en mathématique, cette-dernière peut être démontrée à l'aide de quelques manipulations arithmétiques. 

​En fait, il s'agit de partir de la formule qui permet de calculer les intérêts composés et d'utiliser les opérations inverses pour isoler |C_0|:
||\begin{align}
C_n &= C_0 \left(1+\frac{i}{k}\right)^{n} && \small \text{formule connue} \\\\
\frac{C_n}{\color{red}{\left(1+\frac{i}{k}\right)^{n}}} &= \frac{C_0 \left(1+\frac{i}{k}\right)^{n}}{\color{red}{\left(1+\frac{i}{k}\right)^{n}}} && \small \text{isoler} \ C_0 \\\\
C_n\left(1+\frac{i}{k}\right)^{-n} &= C_0  && \small \text{définition d'un exposant négatif} \end{align}||
Par le biais de cette démonstration, on voit bien pourquoi il y a deux formules possibles. En analysant les deux dernières lignes de la démonstration, on peut déduire qu'elles sont équivalentes. Seul ​l'exposant a changé dû à la définition d'un exposant négatif. 

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Les exercices
Les références