Mathématique m1035

Les racines carrées et cubiques

​​​​​​​​​Tout comme les nombres carrés et cubiques, il existe des racines qui portent le même nom.

​​​Le symbole se nomme radical, ou racine. Par ailleurs, son appellation peut varier en fonction du nombre qui lui est associé.

|\sqrt{x}| ou |\sqrt[2]{x}| est la racine carrée du nombre x.
|\sqrt[3]{x}| est la racine cubique du nombre x.
|\sqrt[4]{x}| est la racine quatrième du nombre x.
|\sqrt[n]{x}| est la racine ne du nombre x.
 
Le nombre ou l'expression algébrique qui se trouve sous le radical s’appelle le radicande

​​​​​La racine carrée

Soit |\{x,y\} \in \mathbb{R}|, alors la racine carrée d'un nombre |x| correspond à un nombre réel positif qui, élevé au carré, donne |x|.
||\text{Si} \ x^2=y, \ \text{alors} \ \sqrt{y} =  x||

Voici un exemple.

On sait que |3^2 = 9|.

Ainsi, on a ||\sqrt{9} = 3 ||​

Par conséquent, la notion de racine carrée ​et d'exposant deux sont intimement liées. En fait, la racine carrée est l'opération inverse de l'exposant deux. En gardant cette relation en mémoire, on peut trouver une valeur manquante​ en algèbre.

Par contre, ce ne sont pas tous les nombres réels pour lesquels on peut calculer la racine carrée.

Si on effectue nos calculs selon |\mathbb{R}|, alors il est impossible de calculer la racine carrée d'un nombre négatif:
||\sqrt{-25} \not\in \mathbb{R}||
En fait, il est possible d'associer une valeur numérique à une telle racine, mais le résultat fera partie de l'ensemble des nombres complexes​ (|\mathbb{C}|).

​ 

​​​​​La racine cubique

Soit |\{x,y\} \in \mathbb{R}|, alors la racine cubique d'un nombre |x| correspond à un nombre réel qui, élevé au cube, donne |x|.
||\text{Si} \ (x)^3=y, \ \text{alors} \ \sqrt[3]{y} = x||

Contrairement à la racine carrée d'un nombre, il est possible de calculer la racine cubique d'un nombre qui fait partie de l'ensemble des réels. De plus, la réponse d'une racine cubique dans les réels est une réponse unique.

||\text{Si} (\text{-}3)^3 = \text{-}27, \ \text{alors} \ \sqrt[3]{\text{-}27} = \text{-}3||

En se basant sur la définition, on peut déduire que la racine cubique est l'opération inverse de l'exposant 3. Par ailleurs, on peut se servir de cette relation pour trouver des mesures manquantes en algèbre.

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