Mathématique m1060

Résumé des propriétés des opérations

​​​​​Certaines propriétés des opérations peuvent faciliter le calcul mental:

L'associativité

L'associativité est une propriété d'opération qui permet de modifier l'ordre des calculs en regroupant des termes entre parenthèses sans modifier le résultat de l'opération.

Cette propriété s'applique à l'addition et à la multiplication.

Dans les exemples ci-dessous, la priorité des opérations s'applique.

Associativité de l'addition:
(10 + 20) + 30 = 10 + (20 + 30)
30 + 30 = 10 + 50
60 = 60

Associativité de la multiplication:
(10 x 20) x 30 = 10 x (20 x 30)
200 x 30 = 10 x 600
6000 = 6000

 

La soustraction et la division ne sont pas des opérations associatives.

(30 - 20) - 10 ≠ 30 - (20 - 10)
10 - 10 ≠ 30 - 10
0
20

(100 ÷ 20) ÷ 5 ≠ 100 ÷ (20 ÷ 5)
5 ÷ 5 ≠ 100 ÷ 4
125

La commutativité

La commutativité est la propriété d'une opération qui permet de modifier l'ordre des termes sans changer le résultat.

Cette propriété s'applique à l'addition et à la multiplication.

 

Commutativité de l'addition:
2 + 3 = 3 + 2
5 = 5

Commutativité de la multiplication:
2 x 3 = 3 x 2
6 = 6

 

La soustraction et la division ne sont pas des opérations commutatives.

10 - 2 ≠ 2 - 10
8-8

10 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 10
50,2

La distributivité

La distributivité est la propriété d'une opération qui permet de distribuer une opération sur les autres termes du calcul.

Cette propriété s'applique à la multiplication. Ainsi, il est possible de distribuer une multiplication sur une addition ou une soustraction par exemple.

 

2 x (10 + 5) = (2 x 10) + (2 x 5)
2 x 15 = 20 + 10
30 = 30

2 x (10 - 5) = (2 x 10) - (2 x 5)
2 x 5 = 20 - 10
10 = 10

 

La division n'est pas une opération distributive.

10 ÷ (3 + 2) ≠ (10 ÷ 3) + (10 ÷ 2)
10 ÷ 5 ≠ 3,33 + 5
28,33

La distributivité dans les expressions algébriques

Comme la distributivité sur les nombres, la distributivité sur les expressions algébriques s'applique sur chacun des termes à l'intérieur de la parenthèse.

Cependant, on ne multiplie que les coefficients de chaque terme dans la parenthèse par le nombre placé en avant de celle-ci.

2 (2y + 3) = (2 x 2y) + (2 x 3)
4y + 6 = 4y + 6

6 (3a + 2y + 4ay + 8z + 9) = (6 x 3a) + (6 x 2y) + (6 x 4ay) + (6 x 8z) + (6 x 9)
18a + 12y + 24ay + 48z + 54 = 18a + 12y + 24ay + 48z + 54

L'élément neutre

L'élément neutre est un nombre qui ne modifie pas le résultat d'une opération.

Pour l'addition, l'élément neutre est |0| alors que pour la multiplication, l'élément neutre est |1|

​​Dans le cas de l'addition, l'élément neutre est obtenu en addtionnant un nombre avec son opposé.

||\begin{align} 1 + \color{blue}{\text{-}1} &= 0\\\\
\frac{\text{-}4}{3} + \ \text{-}\left(\color{blue}{\frac{\text{-}4}{3}}\right) &= \frac{\text{-}4}{3} +\frac{4}{3} \\\\
&=0 \\\\
\end{align}||

Ainsi, on peut déduire que l'élément neutre de l'addition est |0|.

Dans le cas de la multiplication, l'élément neutre est obtenu en multipliant un nombre avec son inverse.

||\begin{align} \frac{2}{5} \times \color{red}{\frac{5}{2}} &= 1\\\\
\frac{\sqrt{7}}{4} \times \color{red}{\frac{4}{\sqrt{7}}} &=1​
\end{align}||

​Ainsi, on peut déduire que l'élément neutre de la multiplication est |1|.

Par contre, la méthodologie est un peu différente lorsqu'on aborde la soustraction et la division.​

Dans la soustraction, il existe aussi un élément neutre. Il s'agit du 0. Cependant, comme la soustraction n'est pas commutative, le 0 doit être placé en 2e.

10 - 0 = 10
0 - 10 = -10

Même chose pour la division. Dans ce cas, l'élément neutre est 1. Comme la division n'est pas commutative, le 1 doit être placé en 2e.

2 ÷ 1 = 2
1 ÷ 2 = 0,5

 

L'élément absorbant

L'élément absorbant est un nombre qui, lorsqu'il est présent dans un calcul, fait que le résultat est toujours 0.

L'élément absorbant est présent dans la multiplication et il s'agit de 0.

 

10 x 0 = 0
3 x 0 = 0

 

L'addition, la soustraction et la division n'ont pas d'élément absorbant.

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