Mathématique m1066

Les rapports

Un rapport est une comparaison entre deux quantités ou deux grandeurs de même nature exprimées avec la même unité de mesure.

Un rapport fait intervenir la division et peut être noté sous la forme |\displaystyle \frac{a}{b}| ou |a:b|.

En général, un rapport n'a pas d'unités de mesure. Les unités étant les mêmes pour les deux grandeurs comparées, elles s'annulent.

Pour bien comprendre la notion de rapport, il convient de survoler les concepts suivants.

Exemples de rapports

Voici quelques exemples de rapports.

Martin a mangé trois clémentines pour sa collation, alors que sa petite soeur en a mangé deux.

Le rapport entre le nombre de clémentines mangées par Martin et celles mangées par sa soeur est |3:2|.

Lorsqu'on exprime ce rapport sous la forme d'une fraction, on remarque que les unités de mesure de chaque grandeur comparée se simplifient.
||\displaystyle \frac{3 \color{red}{\text{  clémentines}}}{2 \color{red}{\text{  clémentines}}}=\frac{3}{2}||

Une troupe de théatre comprend |7| filles et |9| garçons.

Le rapport entre le nombre de filles et le nombre de garçons est de |7| pour |9|.

Ce rapport peut être représenté sous la forme |\displaystyle\frac{7}{9}| ou |7:9|.

On pourrait être porté à croire que les unités de mesures ne sont pas les mêmes dans cet exemple, et qu'il ne s'agit pas d'un rapport. Cependant, les deux quantités comparées sont de même nature, ce sont des êtres humains. De plus, même si on compare des filles et des garçons, on utilise la personne comme unité de mesure et non le sexe.

Les ailes d'un avion d'un modèle réduit mesurent |4\ \text{cm}|, alors que celles de l'avion original mesure |5,4\ \text{m}|.

Avant de comparer les deux grandeurs, il faut s'assurer que celles-ci sont exprimées à l'aide des mêmes unités de mesure. Dans cet exemple, l'une des grandeurs est en |\text{cm}|, alors que que l'autre est en |\text{m}|.

En convertissant la mesure de l'aile de l'avion original en centimètres, on a:
||5,4\ \text{m}\stackrel{\times 100}{\Rightarrow}540\ \text{cm}||

Le rapport entre la longueur des ailes du modèle réduit et celle de l'avion original est de |4\ \text{cm}| pour |540\ \text{cm}|.
Ce rapport peut être représenté sous la forme |\displaystyle \frac{4}{540}| ou |4:540|.

Nous verrons plus bas qu'il est possible d'exprimer ce rapport sous la forme d'un rapport réduit.

Pour savoir comment traduire une situation à l'aide d'un rapport, visite la fiche suivante.

Les rapports réduits

Les rapports réduits se réfèrent aux fractions irréductibles.
Un rapport réduit est un rapport dont les termes sont premiers entre eux.
En d'autres mots, un rapport réduit est représenté par une fraction irréductible de la forme |\displaystyle \frac{a}{b}|.
Voici comment procéder pour simplifier un rapport afin d'obtenir un rapport réduit.
1. Exprimer le rapport sous la forme |\displaystyle \frac{a}{b}| s'il est donné sous la forme |a:b|.

2. Simplifier le rapport afin d'obtenir une fraction irréductible.

Pour obtenir un rapport réduit, on peut simplement diviser les termes du rapport par leur PGCD.

Simplifier le rapport |24:40| pour obtenir un rapport réduit.

1. Exprimer le rapport sous la forme |\displaystyle \frac{a}{b}| s'il est donné sous la forme |a:b|.
||\displaystyle 24:40=\frac{24}{40}||
2. Simplifier le rapport afin d'obtenir une fraction irréductible.
||\begin{align} \frac{24}{40}&\Rightarrow \frac{24\color{green}{\div 2}}{40\color{green}{\div 2}}=\frac{12}{20}\\
\\
&\Rightarrow \frac{12\color{green}{\div 4}}{20\color{green}{\div 4}}=\frac{3}{5}\end{align}||
Le rapport réduit de |24:40| est donc |3:5|.
On dira aussi de ces rapports qu'ils sont des rapports équivalents.

Les rapports équivalents

Les rapports équivalents se réfèrent aux fractions équivalentes.

Des rapports équivalents sont des rapports ayant le même quotient. On dira alors que les rapports forment une proportion.

Voici comment procéder pour déterminer si deux rapports sont équivalents ou non.

1. Obtenir le quotient de chaque rapport en divisant le numérateur par le dénominateur.

2. Comparer les quotients obtenus. Si les quotients sont égaux, les rapports sont équivalents.

On peut aussi déterminer si deux rapports sont équivalents en les exprimant sous la forme de rapports réduits. Si les rapports réduits sont les mêmes, les rapports sont équivalents.

Les rapports |\displaystyle \frac{3}{12}| et |\displaystyle \frac{2}{8}| sont-ils équivalents?

1. Obtenir le quotient de chaque rapport en divisant le numérateur par le dénominateur.
||\begin{align} \frac{3}{12}&=3\div12=0,25 & \frac{2}{8}&=2\div8=0,25\end{align}||
2. Comparer les quotients obtenus. Si les quotients sont égaux, les rapports sont équivalents.
    On remarque que les quotients sont égaux: |0,25=0,25|
    Les rapports sont donc équivalents.

Il aurait aussi été possible de réduire chaque rapport pour déterminer s'ils sont équivalents.
||\begin{align}\frac{3\color{green}{\div 3}}{12\color{green}{\div 3}}&=\frac{1}{4} &
\frac{2\color{green}{\div 2}}{8\color{green}{\div 2}}&=\frac{1}{4}\end{align}||On remarque qu'une fois réduits, ces rapports sont identiques. On peut donc déduire qu'ils sont équivalents.

Les rapports |15:8| et |16:10| sont-ils équivalents?

1. Obtenir le quotient de chaque rapport en divisant le numérateur par le dénominateur.
||\begin{align} \frac{15}{8}&=15\div8=1,875\\
\\
\frac{16}{9}&=16\div9=1,\overline{7}\end{align}||2. Comparer les quotients obtenus. Si les quotients sont égaux, les rapports sont équivalents.
    On remarque que les quotients ne sont pas égaux.||1,875\color{red}{\neq}1,\overline{7}||    Les rapports ne sont pas équivalents.


Les rapports exprimés à l'aide d'un pourcentage

Puisqu'un rapport peut être exprimé à l'aide d'une fraction, il est possible de convertir l'expression d'un rapport en pourcentage. Pour ce faire, il suffit de savoir comment passer d'une fraction à un pourcentage. Pour en savoir plus à ce sujet, consulte la fiche suivante:

Exprimer une fraction en pourcentage et l'inverse

Voici comment procéder pour exprimer un rapport en pourcentage.

1. Exprimer le rapport sous la forme |\displaystyle \frac{a}{b}| s'il est donné sous la forme |a:b|.

2. Exprimer la fraction |\displaystyle \frac{a}{b}| en pourcentage.

Exprime le rapport |3:50| en pourcentage.

1. Exprimer le rapport sous la forme |\displaystyle \frac{a}{b}| s'il est donné sous la forme |a:b|.
||3:50=\displaystyle \frac{3}{50}||2. Exprimer la fraction |\displaystyle \frac{a}{b}| en pourcentage.
   Plusieurs méthodes peuvent être utilisées. Pour en savoir plus, clique ici.||\displaystyle \frac{3\color{green}{\times 2}}{50\color{green}{\times 2}}=\frac{6}{100}=6\%||Le rapport |3:50| correspond donc à |6\%|.


La comparaison de rapports

Dans certaines situations, il peut être demandé de comparer deux ou plusieurs rapports. Généralement, on veut déterminer lequel des rapports est le plus avantageux.
1. Exprimer chaque rapport en notation décimale en calculant le quotient.

2. Comparer les nombres en notation décimale et choisir le bon rapport selon la situation.

On peut aussi comparer des rapports en les exprimant sous la forme |\displaystyle \frac{a}{b}| et en les mettant sur le même dénominateur. Une fois sur le même dénominateur, il suffit de comparer les numérateurs et de faire un choix selon le contexte.

Dans une recette de potage de brocoli, on demande d’ajouter 250 ml de crème pour 1000 ml de soupe.  Pour le potage de carottes, on suggère d’ajouter 700 ml de crème pour 2500 ml. Quel potage est le plus riche en crème?

1. Exprimer chaque rapport en notation décimale en calculant le quotient.
    Dans cette situation, nous avons deux rapports.
    |250:1000| et |700:2500|

    En calculant les quotients, on obtient:
    |\bullet| Potage de brocoli:   |250\div1000=0,25|
    |\bullet| Potage de carottes: |700\div2500=0,28|
2. Comparer les nombres en notation décimale et choisir le bon rapport selon la situation.
    On cherche le potage qui sera le plus riche en crème. En d'autre mots, celui donc le rapport crème/soupe est le plus élevé.
    Comme |0,28>0,25|, le potage de carottes est le plus riche en crème.

*Il aurait aussi été possible de mettre les deux rapports sur le même dénominateur et de comparer les numérateurs ensemble.
||\begin{align}\frac{250\color{green}{\times 5}}{1000\color{green}{\times 5}}&=\frac{1250}{5000} & &\qquad & \frac{700\color{green}{\times 2}}{2500\color{green}{\times 2}}&=\frac{1400}{5000}\end{align}|| On remarque que |1400>1250|. De cette façon, on obtient le même résultat; le potage de carottes est plus riche en crème.


Les effets de la modification d'un terme dans un rapport.

Tout comme pour une fraction, si on effectue la même multiplication ou la même division aux deux termes (numérateur et dénominateur), on obtient un rapport équivalent.
Par contre, si on ne modifie que le numérateur OU le dénominateur, on affecte directement la valeur du rapport, et ce, de l’une des façons suivantes.
Soit un rapport |a:b| ou |\displaystyle\frac{a}{b}|.
Pour augmenter la valeur du rapport, on peut:
    |\bullet| augmenter la valeur du terme |a| (numérateur).
    |\bullet| diminuer la valeur du terme |b| (dénominateur).

Pour diminuer la valeur du rapport, on peut:
    |\bullet| diminuer la valeur du terme |a| (numérateur).
    |\bullet| augmenter la valeur du terme |b| (dénominateur).

Un fermier possède 45 moutons pour 65 chevaux.
Le rapport représentant cette situation est |\displaystyle \frac{45}{65}|.

a) Donne deux façons pour le fermier d'augmenter la valeur de son rapport moutons/chevaux.

|\bullet| 1ère façon: Se procurer davantage de moutons.
     S'il se procure |\color{green}{5}| moutons de plus, par exemple, on obtient: ||\displaystyle \frac{45\color{green}{+5}}{65}=\frac{50}{65}\Rightarrow \frac{50}{65}\color{red}{>} \frac{45}{65}||
|\bullet| 2ième façon: Vendre quelques chevaux.
     S'il vend |\color{green}{10}| chevaux, par exemple, on obtient: ||\displaystyle \frac{45}{65\color{green}{-10}}=\frac{45}{55}\Rightarrow \frac{45}{55}\color{red}{>} \frac{45}{65}||  *Pour s'en convaincre, on pourrait calculer le quotient de chaque rapport.

b) Donne deux façons pour le fermier de diminuer la valeur de son rapport moutons/chevaux.

|\bullet| 1ère façon: Vendre quelques moutons.
     S'il vend |\color{green}{2}| moutons, par exemple, on obtient: ||\displaystyle \frac{45\color{green}{-2}}{60}=\frac{43}{60}\Rightarrow \frac{43}{60}\color{red}{<} \frac{45}{60}|| 
|\bullet| 2ième façon: Se procurer davantage de chevaux.
     S'il se procure |\color{green}{7}| chevaux, par exemple, on obtient: ||\displaystyle \frac{45}{65\color{green}{+7}}=\frac{45}{72}\Rightarrow \frac{45}{72}\color{red}{<} \frac{45}{65}||    *Pour s'en convaincre, on pourrait calculer le quotient de chaque rapport.    

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Les exercices
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