L'exponentiation dans les expressions algébriques

Fiche | Mathématiques

Secondaire

3-4

L'exponentiation est une opération qui consiste à affecter un exposant à une base. Un polynôme peut parfois être affecté d'un exposant. Deux situations différentes sont alors possibles.

Si le polynôme est uniquement constitué de multiplications et de divisions, on peut alors utiliser certaines propriétés des exposants afin de réduire l'expression algébrique.
Si le polynôme contient des additions ou des soustractions, il faudra alors le développer afin de pouvoir le réduire.

Important!

Il faut être prudent avec l’exponentiation dans les polynômes. Dans une expression algébrique, on peut utiliser les propriétés des exposants seulement si cette expression est constituée uniquement de multiplications et de divisions.

Les deux propriétés des exposants pouvant être utilisées sur les polynômes sont les suivantes:
||\begin{align}(a^m)^n&=a^{mn}\\ \\
\left(\displaystyle \frac{a^m}{b^n}\right)^c&=\frac{a^{mc}}{b^{nc}}\end{align}||

Les propriétés des exposants

Exemple

Cas où il n'y a que des multiplications et des divisions

Soit l'expression algébrique suivante:||\left(\displaystyle \frac{3^2a^3f^2}{27ac^2f}\right)^3|| Avant d'inclure l'exposant à l'intérieur de la parenthèse, on peut simplifier, si possible, l'intérieur de la parenthèse. ||\begin{align} \left(\displaystyle \frac{3^2a^3f^2}{27ac^2f}\right)^3=\left(\displaystyle \frac{3^2a^3f^2}{3^3ac^2f}\right)^3&\Rightarrow (3^{2-3}a^{3-1}c^{0-2}f^{2-1})^3\\ \\
&=(3^{-1}a^2c^{-2}f^1)^3\end{align}|| On applique l'une des propriétés des exposants pour distribuer l'exposant. ||(3^{-1}a^2c^{-2}f^1)^3\quad \Rightarrow \quad \left(3^{(-1\times 3)}a^{(2\times 3)}c^{(-2\times 3)}f^{(1\times 3)}\right)\quad =\quad (3^{-3}a^6c^{-6}f^3)|| On écrit notre réponse finale avec des exposants positifs. ||(3^{-3}a^6c^{-6}f^3)=\displaystyle \frac{a^6f^3}{3^3c^6}||

Exemple

Cas où il y a des additions et des soustractions

Soit l'expression algébrique suivante: ||(a-3)^3|| On ne peut pas appliquer la propriété des exposants énoncée ci-haut, car il y a une soustraction dans l'expression.

La mise au cube de ce binôme revient à multiplier le binôme trois fois par lui-même: ||(a-3)(a-3)(a-3)|| On commence par multiplier ensemble les deux premiers binômes. ||\begin{align}&\color{white}{=}\color{red}{(a-3)(a-3)}(a-3)\\
&=\color{red}{(a^2-3a-3a+9)}(a-3)\\
&=\color{red}{(a^2-6a+9)}(a-3)\end{align}|| On effectue ensuite la multiplication du trinôme obtenu précédemment avec le dernier binôme. ||\begin{align}&\color{white}{=}(a^2-6a+9)(a-3)\\
&=a^3-6a^2+9a-3a^2+18a-27\\
&=a^3-9a^2+27a-27\end{align}||
La réponse est donc: |a^3-9a^2+27a-27|.

Exemple

Cas particulier du carré d'un binôme

Soit l'expression algébrique suivante : ||(3x+4)^2|| On ne peut pas appliquer la propriété des exposants énoncée ci-haut, car il y a une addition dans l'expression. C'est donc dire que ||(3x+4)^2\neq 3^2x^2+4^2|| La mise au carré de ce binôme revient à une multiplication de deux binômes identiques. On obtient l'expression suivante : ||\begin{align} (3x+4)^2 &= (3x+4)(3x+4) \\ &= 9x^2+12x+12x+16 \\ &= 9x^2+24x+16 \end{align}||

En fait, en réduisant le développement du carré d'un binôme, on obtient toujours un trinôme formé des termes suivants :

le premier terme est le carré du premier terme du binôme;
le deuxième terme est le double du produit des deux termes du binôme;
le troisième terme est le carré du deuxième terme du binôme.

Dans notre exemple, le premier terme de la réponse |(9x^2)| est le carré du premier terme du binôme |(3x)|. Le deuxième terme de la réponse |(24x)| est est le double du produit des deux termes du binôme. En effet, |2(3x)(4)=24x.| Le troisième terme de la réponse |(16)| est le carré du deuxième terme du binôme |(4).| ||\begin{align} (\color{blue}{3x} + \color{green}{4})^2 &= (\color{blue}{3x})^2 + 2(\color{blue}{3x})(\color{green}{4}) + (\color{green}{4})^2 \\ &= 9x^2+24x+16 \end{align}||