Mathématique m1095

Relations et fonctions

En mathématiques, une relation est un énoncé qui relie deux ou plusieurs éléments. Une règle de correspondance établie une relation entre certains éléments d'un ensemble de départ et d'autres éléments d'un ensemble d'arrivée.

En mathématiques, une fonction est une relation |f| entre deux variables. On appelle cette relation une fonction, car une règle de correspondance associe à chaque variable de l'ensemble de départ (le domaine)une et une seule valeur de l'ensemble d'arrivée (l'image ou le codomaine). Dans une relation dite fonctionnelle, la variable qui entraîne l'autre est appelée variable indépendante, alors que celle qui réagit à la variation de l'autre est appelée variable dépendante.

On écrit souvent la règle d'une fonction sous la forme |y=|. Toutefois, on utilise aussi la notation |f(x)=| qui veut dire «la valeur de la fonction |f| par |x|.» On peut donc conclure que |y=f(x)| puisque tous deux donnent l'image de la fonction par la valeur de |x|.

Soit la fonction |y=2x+3| que l'on peut également écrire |f(x)=2x+3|.

Si on demande de calculer la valeur de la fonction lorsque |x=2|, on peut la calculer ainsi:
|y=2 \cdot 2 + 3 \rightarrow y=7|
ou
|f(2)=2 \cdot 2 + 3 \rightarrow f(2)=7|
La définition d'une fonction stipule que, pour chaque valeur de la variable indépendante, la variable dépendante ne prend qu'une et une seule valeur.

Une relation |f| est une fonction si et seulement aucune droite verticale ne coupe son graphique en plus d'un point.

 

La notation fonctionnelle est une notation qui sert à définir une fonction en indiquant son ensemble de départ, son ensemble d'arrivée et sa règle de correspondance.

 

La notation fonctionnelle se présente comme suit:
|\begin{eqnarray*} f: \text{Ensemble de départ } &\rightarrow& \text{Ensemble d'arrivée} \\
x &\mapsto& f(x)=\text{Règle de correspondance} \end{eqnarray*}|

Il arrive également que dans la deuxième ligne de la notation fonctionnelle on inscrive plutôt |x \mapsto \text{Règle de correspondance}|.

 

|\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} &\rightarrow& \mathbb{R} \\ x &\mapsto& f(x)=3x+4 \end{eqnarray*}|

À la deuxième ligne, on aurait aussi pu écrire |x \mapsto 3x+4|.

Dans cet exemple, l'ensemble de départ est |\mathbb{R}|, l'ensemble d'arrivée est |\mathbb{R}| et la règle de correspondance est |3x+4|.

La variable indépendante est |x| et la variable dépendante est |f(x)| qui représente l'élément de l'ensemble d'arrivée qui est l'image de |x| par la fonction |f|.

On lirait cette notation fonctionnelle comme suit:
«La fonction |f| va de |\mathbb{R}| vers |\mathbb{R}| et associe à un élément |x| de l'ensemble de départ un élément |f(x)| de l'ensemble d'arrivée.»

Les ensembles de départ et d'arrivée peuvent être très variés. Ils peuvent être des intervalles, des ensembles de nombres, etc...

Les familles de fonctions

Dépendamment du lien qui existe entre deux variables, on peut représenter graphiquement une multitude de situations de la vie courante à l'aide de modèles mathématiques, c'est-à-dire des fonctions dont on connaît le comportement et avec lesquelles on peut faire des prédictions.

On peut regrouper ces fonctions en catégories que l'on appellent des familles de fonctions. Les fonctions d'une même famille ont des graphiques et des règles ayant des caractéristiques communes.

Voici plusieurs familles de fonctions utilisées comme modèles mathématiques; cliquez sur les images pour en apprendre plus.

 

 

 

 

 

 

Fonctions périodiques

On appelle cycle d'une fonction trigonométrique la partie d'un graphique qui correspond à la plus petite portion de la courbe associée à un motif qui se répète.

On appelle période l'écart entre deux abscisses situées aux extrémités d'un même cycle.

Une fonction |f(x)| est périodique s'il existe un nombre positif |P| (la période) tel que |f(x \pm P)=f(x)| pour toutes les valeurs de |x| dans le domaine de la fonction.

 

On appelle fréquence d'une fonction périodique, l'inverse de la période que l'on note |\displaystyle F = \frac{1}{P}| où |P| est la période de la fonction.

Si dans une situation, l'axe des abscisses correspond à du temps alors la fréquence correspond au nombre de cycles effectués par unité de temps.

 

Voici le graphique d'une fonction périodique dont la période vaut |\displaystyle P=\frac{1}{4} \text{seconde}|. L'axe des abscisses correspond à du temps en secondes.



La fréquence est |\displaystyle F = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4 \text{ cycles/seconde}|.

Les vidéos
Les exercices
Les références