Mathématique m1143

La fonction exponentielle

Voici deux formes d'équation de la fonction exponentielle qui sont fréquemment rencontrées:
|f(x)=ac^x| et  |f(x)=ac^{bx}|

Remarques : Le paramètre |c| (la base), doit être supérieur à 0 et différent de 1.
Lorsque |a| et |b| valent 1, nous avons |f(x)=c^x| qui est appelée la forme de base.

Il est important de porter attention à l'exposant de la fonction. En effet, dans une fonction exponentielle, la variable x se situe toujours à l'exposant.

|f(x)=2^x| est une fonction exponentielle.

|f(x)=x^2| n'est pas une fonction exponentielle.

Avant d'entrer dans le vif du sujet, il est important de donner la définition d'un élément mathématique utilisé à plusieurs reprises dans diverses fonctions, dont la fonction exponentielle.

Une asymptote est une droite vers laquelle s'approche une fonction, de plus en plus, sans ne jamais y toucher. Il peut y avoir plusieurs asymptotes pour une même fonction.

Graphiques et comportements de la fonction exponentielle sous les formes |f(x)=ac^x| et |f(x)=ac^{bx}|

Le graphique d'une fonction exponentielle, qu'elle soit sous la forme |f(x)=ac^x| ou |f(x)=ac^{bx}|, possède toujours une asymptote d'équation |y=0|.

Dans la fonction |f(x)= ac^x|

La base |c| de la fonction exponentielle détermine la croissance de la fonction.

|\bullet| Si |c| est compris entre 0 et 1 (|0<c<1|), la fonction est décroissante.

|\bullet| Si |c>1|, la fonction est croissante.

Le paramètre |a| crée une réflexion par rapport à l'axe des |x|. Il change aussi l'échelle verticale de la fonction.

|\bullet| Lorsque |a>0|, la fonction est ouverte vers le haut.

|\bullet| Lorsque |a<0|, la fonction est ouverte vers le bas.


|\bullet| Si |a>1| ou si |a<-1|, la fonction subit un étirement vertical et si  |0<a<1| ou si |-1<a<0|, la fonction subit une contraction verticale.

Dans la fonction |f(x)=ac^{bx}|

Le paramètre |b| est responsable d'une réflexion par rapport à l'axe des |y|. Il change aussi l'échelle horizontale de la fonction.

|\bullet| Si |b>1| ou si |b<-1|, la fonction subit une contraction horizontale.

|\bullet| Si |0<b<1| ou si |-1<b<0|, la fonction subit un étirement horizontal.

|\bullet| Si |b<0|, la fonction subit en plus une réflexion par rapport à l'axe vertical.

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