Mathématique m1145

La recherche de la règle d'une fonction exponentielle

​Il y a deux cas à distinguer pour la recherche de la règle d'une fonction exponentielle.

Lorsqu'on cherche la règle d'une fonction exponentielle à l'aide d'un graphique ou d'une table des valeurs, on peut laisser tomber la forme |y=ac^{bx}| puisque la forme |y=ac^x| lui est équivalente.

Par contre, le rôle du paramètre |b| prend tout son sens lorsqu'on décrit une situation réelle étant donné qu'il fait référence à la fréquence à laquelle le pourcentage de variation est calculé. 

Recherche de la règle de la fonction exponentielle sous la forme |y= ac^x|

Il peut survenir deux cas :
Cas : Un point et l'ordonnée à l'origine

Soit le graphique suivant :


Lorsqu'on connaît l'ordonnée à l'origine d'une fonction exponentielle, il est facile de trouver la valeur du paramètre |a|.
|-5=a\cdot c^{0}|
Selon la loi des exposants, |c^0=1|.
|-5=a\cdot1|
|-5=a|
On remplace la valeur de |a| dans la fonction et on prend l'autre couple de la fonction pour trouver le paramètre |c|.

|\frac{-5}{3}=-5\cdot c^{-1}|

|\frac{-5}{-15}=c^{-1}|

|\frac{1}{3}=c^{-1}|

Selon la loi des exposants, |c^{-1}=\frac{1}{c}|.

|\frac{1}{3}=\frac{1}{c}|

Donc, on obtient que |c=3|.

L'équation de la fonction sera la suivante : |y=-5\cdot3^{x}|.

 

Cas : Deux points, tous deux différents de l'ordonnée à l'origine

Soit les points (2,-9/2) et (-2,-8/9).

Il faut écrire deux équations sous la forme |y=ac^x| en remplaçant |x| et |y| par les coordonnées de chacun des deux couples.

Ce qui donne |-9/2 = ac^2| et |-8/9=ac^{-2}|.

Il faut isoler le paramètre |a| dans les deux équations précédentes.

On obtient :|\displaystyle \frac{-9/2}{c^2}=a| et |\displaystyle \frac{-8/9}{c^{-2}}=a|.

On utilise la méthode de comparaison.

|\displaystyle \frac{-9/2}{c^2}= \frac{-8/9}{c^{-2}}|

Rendu ici, il faut isoler le paramètre |c| :

Tout d'abord, on effectue un produit croisé.

|\displaystyle -\frac{9}{2}c^{-2} = -\frac{8}{9}c^2|

On envoie les |c| du même côté et les fractions de l'autre.

|\displaystyle - \frac{9}{2} \times - \frac{9}{8} = \frac{c^2}{c^{-2}}|

|\displaystyle \frac{81}{16} = c^4|

On effectue maintenant |\displaystyle \left( \frac{81}{16} \right)^{1/4} = c|.

Ce qui donne que |1,5=c|.

Maintenant, il ne reste qu'à remplacer |c| dans l'une ou l'autre des deux équations du départ et d'isoler |a|.

Par exemple : |-9/2 = a(1,5)^2|

Ainsi, |a=-2|.

On conclut en donnant l'équation de la fonction exponentielle : |y=-2(1,5)^x|.

 

Recherche de la règle de la fonction exponentielle de la forme |y= ac^x+k|

Il est plus pratique d'utiliser la forme réduite (|y=ac^x+k|) que la forme canonique (|y=ac^{b(x-h)}+k|). Cette forme s'obtient grâce aux lois des exposants.

Remarque : Toutefois, le |a| de la forme réduite n'est pas égal au |a| de la forme canonique. Il en est de même pour le |c|.

 

Lorsque l'on travaille avec une fonction exponentielle, il y a un facteur multiplicatif entre les variations de la variable dépendante, lorsque la variable indépendante augmente de 1. Ce facteur multiplicatif correspond à la base de la fonction.

 

Voici la table de valeurs de la fonction |y=2\cdot 3^x-1|.

On remarque que le facteur multiplicatif est 3 et ceci correspond à la base de notre fonction.

Si le facteur multiplicatif est négatif, on doit prendre le signe contraire. En effet, la base d'une fonction exponentielle ne peut pas être négative.

Regardons la marche à suivre lorsque l'on connaît la table de valeurs.

1. On détermine les variations de la variable dépendante (il faut que celles de la variation indépendante soient de 1). Ensuite, on trouve le facteur multiplicatif.

2. On utilise deux couples |(x,y)| que l'on remplace dans l'équation |y=ac^x+k|.

3. On isole le |k| dans les deux équations.

4. On résout le système d'équations algébriquement. On trouve ainsi le |a|.

5. On remplace dans l'une ou l'autre des deux équations afin de trouver la valeur de |k|.

6. On écrit l'équation de notre fonction.

 

Quelle est l'équation de la fonction exponentielle sous la forme |y=ac^x+k| représentée par la table de valeurs :



1. On détermine les variations de la variable dépendante et ensuite le facteur multiplicatif.

On peut donc déduire que la base (|c|) vaut 2.

2. Nous allons utiliser les couples (2,5) et (5,19).

On obtient alors |5=a\cdot2^2+k| et |19=a\cdot2^5+k|.

|5=4a+k| et |19=32a+k|

3. On isole le |k| dans les deux équations.

On obtient |5-4a=k| et |19-32a=k|.

4. On résout ce système d'équations. Pour y arriver, il serait approprié d'utiliser la méthode de comparaison.

|5-4a=19-32a|
|5=19-28a|
|-14=-28a|
|0.5=a|

5. On remplace |a| dans l'une ou l'autre des deux équations de l'étape 2.

|5=4 \cdot 0,5 + k|

On isole |k|.

|5=2+k|

|3=k|

6. On écrit l'équation :  |y=0,5\cdot 2^x+3|.

 

Pourquoi la méthode présentée dans la recherche de la règle d'une fonction exponentielle sous la forme |y=ac^x+k| fonctionne-t-elle ?

Voici une preuve intuitive :

Sans perte de généralité, prendre trois couples de points dont les abscisses sont consécutives : |(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)| suffit.

Ainsi :
|y_1=ac^{x_1}+k|
|y_2=ac^{x_2}+k|
|y_3=ac^{x_3}+k|

Il faut calculer les variations de la variable indépendante:
|y_2-y_1=ac^{x_2}+k-(ac^{x_1}+k)|
Alors : |y_2-y_1=ac^{x_2}-ac^{x_1}|
|y_3-y_2=ac^{x_3}+k-(ac^{x_2}+k)|
Alors : |y_3-y_2 = ac^{x_3}-ac^{x_2}|

À cette étape, il faut faire une mise en évidence simple dans chaque variation.
|y_2-y_1=a(c^{x_2}-c^{x_1})|
|y_3-y_2=a(c^{x_3}-c^{x_2})|

Maintenant, il faut remarquer que |x_2=x_1+1| et que |x_3=x_2+1|.

Il faut substituer dans les deux variations calculées.
|y_2-y_1=a(c^{x_1+1}-c^{x_1})|
|y_3-y_2=a(c^{x_2+1}-c^{x_2})|

Encore une fois, il faut faire une mise en évidence simple dans chaque variation.
|y_2-y_1=ac^{x_1}(c-1)|
|y_3-y_2=ac^{x_2}(c-1)|

Il ne reste qu'à diviser les deux variations :
|\displaystyle \frac{y_3-y_2}{y_2-y_1} = \frac{ac^{x_2}(c-1)}{ac^{x_1}(c-1)}|

Comme |c \neq 1| et que |a \neq 0|, alors :
|\displaystyle \frac{y_3-y_2}{y_2-y_1} = \frac{c^{x_2}}{c^{x_1}} = \frac{c^{x_1+1}}{c^{x_1}}|

Or, |\displaystyle \frac{c^{x_1+1}}{c^{x_1}} = \frac{c}{1}|.

Par conséquent :
|\displaystyle \frac{y_3-y_2}{y_2-y_1} = c|

C'est ce qui explique pourquoi la variation des valeurs de la variable dépendante, lorsque les abscisses sont consécutives, permet de trouver la base |c| de la fonction exponentielle sous la forme |y=ac^x+k|.

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Les exercices
Les références