Mathématique m1229

Les polyèdres

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Parmi les solides, on fait la distinction entre ceux dont les faces sont uniquement des polygones (nommés polyèdres) et ceux qui possèdent au moins une face qui est une surface courbe (nommés corps ronds​).

Caractéristiques des polyèdres

Pour être considéré comme un polyèdre, un solide doit posséder une caractéristique importante.

​Un polyèdre est un solide délimité par des polygones. En d'autres mots, il ne doit posséder aucune ​surface courbe.

Pour illustrer le tout, voici quelques exemples de polyèdres.

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​Ainsi, un polyèdre peut être construit par la combinaison de triangles, de carrés, de rectangles, de losanges ou de tout autre polygone fermé. Par ailleurs, les polygones utilisés sont un des critères qui permettent de qualifier les différents polyèdres.

Les polyèdres convexes

Dans la vie de tous les jours, ce sont généralement ces polyèdres que l'on rencontre de par la simplicité de leur construction.

Un polyèdre convexe est un solide dont les segments joignant deux de ses points quelconques sont entièrement inclus dans la portion d'espace qu'il délimite.

En d'autr​es mots, il n'y a pas de «creux» ou de «cavités» qui soient visibles en surface.

Dans cette pyramide à base triangulaire, les deux segments tracés sont soient en surface ou à l'intérieur du polyèdre.

​​Afin d'approfondir cette catégorie, il est essentiel de bien définir les prismes et les pyramides.​

Les polyèdres non convexes

Un polyèdre non convexe est un solide dont la base ou les bases sont des polygones non convexes.

Un polyèdre non convexe est un solide dont au moins un segment joignant deux de ses points quelconques est exclue de la portion d'espace qu'il délimite.

En d'autres mots, il est possible de remarquer un «creux» ou une cavité à l'intérieur du polyèdre.

Dans l'exemple ci-contre, on remarque que si l'on rejoint les deux points rouges de ce prisme non convexe à base pentagonale, le segment alors formé sera dessiné à l'extérieur du prisme.

Il en va de même pour un polyèdre à l'intérieur duquel on enlève une section. ​
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 Ici, on voit que le segment rouge passe dans la portion du prisme qui est vide.

Les polyèdres réguliers

Dans ce cas, le terme régulier fait référence à l'utilisation répétée d'un seul polygone régulier pour former le polyèdre.​​

Un polyèdre régulier ​est constitué de polygones réguliers isométriques dont chaque sommet possède le même nombre d'arêtes qui convergent vers lui.

Plus encore on peut catégoriser ces polyèdres réguliers en deux familles selon s'ils sont convexes ou non convexes.

Lorsqu'il est question de polyèdres réguliers qui possèdent les caractéristiques suivantes:
- toutes les faces sont des polygones réguliers isométriques
- aucune de ses faces ne se coupent, excepté sur les arêtes
- le même nombre de faces se rencontrent à chaque sommet
on parle alors des solides de Platon.
Par ailleurs, les plus communs sont le cube et le tétraèdre​.

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​En résumé, le cube est formé de six carrés qui sont isométriques et trois carrés se rencontrent à chaque sommet. Pour ce qui est du tétraèdre, il est formé de quatre triangles équilatéraux isométriques et trois triangles se rencontrent à chaque sommet.​

Polyèdres de Platon
​Pour ce qui est des trois autres polyèdres de Platon, ils se nomment octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre.

Polyèdres de Kepler-Poinsot
Ces polyèdres forment la famille de polyèdres réguliers qui sont non convexes​​​. Pour en apprendre plus à leur sujet, n'hésite pas à consulter ce site Internet.​

Les polyèdres droits et obliques

Les polyèdres peuvent avoir la particulirité d'être droits ou obliques.

Un polyèdre droit ​est un polyèdre dont la hauteur issue du centre d'une base rejoint le centre de l'autre base (dans le cas des prismes) ou l'apex (dans le cas des pyramides).

​En d'autres mots, il s'agit d'un polyèdre qui s'élève de façon parfaitement verticale.

Exemple avec une base et un apex
 
Exemple avec deux bases

Dans le cas où cet aspect de perpendicularité n'est pas présent, il est alors question de polyèdre oblique.

Un polyèdre oblique est un polyèdre ​dont la hauteur issue du centre d'une base ne relie pas le centre de l'autre base (dans le cas des prismes) ou l'apex (dans le cas des pyramides).

Généralement, il est très difficile de construire des bâtiments d'envergure qui sont obliques, puisque les structures pour les soutenir sont très complexes à réaliser.

Exemple avec une base et un apex
 
Exemple avec deux bases
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