Mathématique m1243

L'aire et le volume des solides

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Lorsque vient le temps de mesurer un solide, on peut le faire de plusieurs façons. De plus, la démarche à suivre et les formules à utiliser varieront en fonction de ce qu'on recherche, soit la superficie de l'objet ou l'espace qu'il occupe.​

Définition de l'aire d'un solide​

En cherchant à recouvrir un solide ou une surface, on fait référence au calcul de son aire. Pour ce qui est des solides, il y a trois types d'aires qui sont essentiels à différencier.

L'aire des bases, généralement notée |A_b|, est la surface occupée uniquement par les figures servant de bases aux différents solides.

L'aire latérale, généralement notée |A_L|, est la surface occupée par les figures qui ne servent pas de bases aux solides.

L'aire totale, généralement notée |A_T|, est la surface recouverte par toutes les figures formant le solide concerné.

Dans tous les cas, l'aire se calcule en |\text{unité​}^2| comme des |\text{cm}^2, \text{m}^2, \text{km}^2|.

Pour savoir laquelle des aires on doit calculer, il faut se fier au contexte ou lire attentivement les consignes qui sont données dans le problème.

Aire latérale
Pour réparer une piscine, on veut remplacer le mur qui délimite cette dernière.
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source
Dans ce contexte, le mur fait référence à la face latérale du cylindre associé à la piscine. Ainsi, c'est l'aire latérale qui est visée.

Aire des bases
Dans un tipi de forme conique, on veut acheter un tapis pour recouvrir le plancher.
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source
Dans ce cas, le tapis est posé sur le plancher. En d'autres mots, on fait référence à la base du cône et c'est seulement la superficie de cette figure qui devrait être considérée pour résoudre le problème.

Aire totale
Pour une occasion très spéciale, on offre un cadeau à un être cher qu'on désire emballer afin de préserver la surprise.
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Pour emballer le solide, il faudrait recouvrir les quatre faces latérales ainsi que les deux bases. Donc, c'est l'aire totale qu'il faudrait calculer pour répondre au besoin de la situation.

Malgré ces trois exemples, il y a d'autres situations qui peuvent être différentes de celles-ci. Plus précisément, il peut arriver qu'on doive considérer une seule des deux bases ou une partie des faces latérales. Pour en savoir plus, n'hésite pas à consulter les fiches sur les calculs d'aire des différents solides présentées en haut de cette page.

Définition du volume d'un solide

Contrairement à l'aire, ce n'est pas la surface d'un solide qui est associée au concept de volume mais bien l'espace occupé par ce dernier.

​Le volume, généralement noté |V|, ​d'un solide est la mesure de la portion de l'espace à trois dimensions qu'il occupe.

Concernant cette mesure, on peut utiliser deux types d'unités soit ceux qui font référence au mètre (|\text{cm}^3, \text{m}^3, \text{dam}^3|) ou ceux qui font référence au litre (L, cl, ml ...). Pour voir le lien qui existe entre les deux, n'hésite pas à consulter la fiche sur les unités de capacité et leur conversion​.

Afin de savoir combien de clients pourront recevoir leur commande, une compagnie de distribution d'essence doit savoir quelle quantité, en ​|\text{m}^3|, leur camion-citerne peut contenir.
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Pour satisfaire leur curiosité, on devra déterminer l'espace en trois dimensions occupé par la citerne de ce camion.

Une fois de plus, il peut arriver qu'on s'intéresse seulement à une partie du solide au lieu de le considérer dans son entité. Dans ce cas, il sera question du volume d'un solide décomposable.

Tableau résumé des formules ​d'aire et de volume des solides

De façon générale, on peut regrouper les différentes formules pour tous les solides dans le tableau suivant:

​Solides

​Formules d'aire

​Formules de volume

​​Cube
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|A_b = 2 \cdot c^2|

|A_L = 4 \cdot c^2|

|A_T = 6 \cdot c^2|

​|V = c^3|
​Prisme
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|A_b = \text{formule associée à la figure}|

|A_L= P_b \cdot h|

|A_T =  A_L + 2 \cdot A_b|
​|V = A_b \cdot h|
​Pyramide
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​|A_b = \text{formule associée à la figure}|

|A_L = \displaystyle \frac{P_b \cdot a}{2}|

|A_T = A_L + A_b|
​|V = \displaystyle \frac{A_b \cdot h}{3}|
Sphère ou boule
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​Aire de la sphère

|A_T = 4 \cdot \pi \cdot r^2|
​Volume de la boule

|V= \displaystyle \frac{4 \cdot \pi \cdot r^3}{3}|

​Cylindre
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​|A_b = \pi \cdot r^2|

|A_L = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h|

|A_T = A_L + 2 \cdot A_b|
​|V = A_b \cdot h|
​Cône
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​|A_b = \pi \cdot r^2|

|A_L = \pi \cdot r \cdot a|

|A_T = A_L + A_b|
|V = \displaystyle \frac{A_b \cdot h}{3}|
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