Mathématique m1311

La distance entre deux points d'un plan cartésien

La distance entre deux points d'un plan cartésien correspond à la longueur du plus petit segment reliant un point |A| à un point |B|.

La distance entre deux points A (|x_1, y_1|) et B (|x_2, y_2|) dans un plan cartésien, notée |d(A,B)|, correspond à la longueur du segment |\overline{AB}|. Il est possible de calculer la distance entre deux points du plan cartésien à l'aide de l'expression suivante:

La distance entre les points |A(x_1,y_1)| et |B(x_2,y_2)| est donnée par la formule suivante:
|d(A,B)=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}|.

La distance entre |A| et |B| est la même que celle entre |B| et |A|. L'ordre des points dans la formule n'a donc pas d'importance.


Soient les points |A (1,2)| et |B (4,6)|. On veut connaître la distance entre les deux points.

|d(A,B) = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2}|
|d(A,B) = \sqrt{3^2 + 4^2}|
|d(A,B) = \sqrt{9+16}|
|d(A,B) = \sqrt{25}|
|d(A,B) = 5|

La distance entre les deux points est de 5 unités.

Soit le plan cartésien suivant:

On veut connaître la distance entre les deux points |A| et |B|.

|d(A,B) = \sqrt{(6-(-2))^2 + ((-3)-(-1))^2}|
|d(A,B) = \sqrt{8^2 + (-2)^2}|
|d(A,B) = \sqrt{64+4}|
|d(A,B) = \sqrt{68}|
|d(A,B) \approx 8,25|

La distance entre les deux points est approximativement de 8,25 unités.

Déterminer le périmètre du quadrilatère |ABCD|, où |A=(0,0)|, |B=(3,1)|, |C=(2,2)| et |D=(1,4)|.

Afin de répondre à cette question, il faut calculer la longueur de chaque segment de droite, puis les additionner. Les étapes suivantes seront donc effectuées:

1. Déterminer la longueur du segment |\overline{AB}|;
2. Déterminer la longueur du segment |\overline{BC}|;
3. Déterminer la longueur du segment |\overline{CD}|;
4. Déterminer la longueur du segment |\overline{DA}|;
5. Additionner les résultats ainsi obtenus.

Étape 1: Déterminer la longueur du segment AB:
|\overline{AB} = \sqrt{(3-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt {10}|

Étape 2: Déterminer la longueur du segment BC:
|\overline{BC} = \sqrt{(2-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}|

Étape 3: Déterminer la longueur du segment CD:
|\overline{CD} = \sqrt{(1-2)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}|

Étape 4: Déterminer la longueur du segment DA:
|\overline{DA} = \sqrt{(0-1)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}|

Étape 5: Additionner les résultats ainsi obtenus.
On effectue l'addition et on obtient un périmètre d'environ 10,94 unités.

Démonstration de la formule de la distance entre deux points

Voyons comment le théorème de Pythagore nous aide à comprendre la relation que l'on peut utiliser pour trouver la distance entre deux points.

Pour déterminer la distance séparant deux points quelconques d'un plan cartésien, on utilise la relation de Pythagore. On considère donc que ces deux points, |A| et |B|, sont les extrémités d'un segment correspondant à l'hypoténuse d'un triangle rectangle.


La différence des coordonnées horizontales et verticales donne la mesure des côtés d’un triangle rectangle dont l’hypothénuse correspond à la distance entre les deux points.

Ainsi, selon le théorème de Pythagore, on peut déduire que:
|(m \overline{AB})^2 = (m \overline{BC})^2 + (m \overline{AC})^2|.

Comme la mesure de |\overline{AC}| est égale à |x_2 – x_1| et que la mesure de |\overline{BC}| est égale à |y_2 – y_1|, on peut écrire que:
|(m \overline{AB})^2 = (y_2 - y_1)^2 + (x_2 - x_1)^2|.

Ainsi, l'expression qui permet de calculer la distance entre |A| et |B| est:
|d(A,B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}|.

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